2つの二次方程式 $x^2 + (k+1)x - 4 = 0$ と $x^2 + 3x - 2k = 0$ が共通な実数解を持つように、定数 $k$ の値を定め、その共通解を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの二次方程式 $x^2 + (k+1)x - 4 = 0$ と $x^2 + 3x - 2k = 0$ が共通な実数解を持つように、定数 $k$ の値を定め、その共通解を求める問題です。

2. 解き方の手順

共通解を $\alpha$ とすると、以下の2つの式が成り立ちます。

$\alpha^2 + (k+1)\alpha - 4 = 0$ (1)

$\alpha^2 + 3\alpha - 2k = 0$ (2)

(1) - (2) より、

$(k+1)\alpha - 4 - (3\alpha - 2k) = 0$

$(k+1)\alpha - 4 - 3\alpha + 2k = 0$

$(k-2)\alpha + 2k - 4 = 0$

$(k-2)\alpha + 2(k-2) = 0$

$(k-2)(\alpha + 2) = 0$

したがって、$k=2$ または $\alpha = -2$ が成り立ちます。

(i) $k=2$ のとき

2つの二次方程式はそれぞれ

$x^2 + 3x - 4 = 0$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

となり、2つの方程式は一致します。

$x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1) = 0$ より、$x = -4, 1$ が解となります。共通解は $x = -4, 1$ です。

(ii) $\alpha = -2$ のとき

$\alpha = -2$ を (1) に代入すると、

$(-2)^2 + (k+1)(-2) - 4 = 0$

$4 - 2k - 2 - 4 = 0$

$-2k - 2 = 0$

$k = -1$

このとき、2つの二次方程式はそれぞれ

$x^2 - 4 = 0$

$x^2 + 3x + 2 = 0$

となり、$x^2 - 4 = (x+2)(x-2) = 0$ より $x = -2, 2$ が解です。

$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2) = 0$ より $x = -1, -2$ が解です。

共通解は $x = -2$ です。

3. 最終的な答え

$k = 2$ のとき、共通解は $x = -4, 1$

$k = -1$ のとき、共通解は $x = -2$