与えられた式 $x^2 + xy - 2y^2 + 2x - 5y - 3$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy - 2y^2 + 2x - 5y - 3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての二次式として整理します。

$x^2 + (y+2)x - (2y^2 + 5y + 3)$

次に、定数項 $-(2y^2 + 5y + 3)$ を因数分解します。

$2y^2 + 5y + 3 = (2y+3)(y+1)$

したがって、

$-(2y^2 + 5y + 3) = -(2y+3)(y+1)$

次に、$x^2 + (y+2)x - (2y+3)(y+1)$ が $(x + A)(x + B)$ の形に因数分解できると仮定します。

このとき、$A+B = y+2$ かつ $AB = -(2y+3)(y+1)$ となる $A$ と $B$ を見つける必要があります。

$A = 2y+3$ 、$B = -(y+1)$ とすると、

$A+B = (2y+3) - (y+1) = y+2$

$AB = (2y+3)(-(y+1)) = -(2y+3)(y+1)$

したがって、

$x^2 + (y+2)x - (2y^2 + 5y + 3) = (x+2y+3)(x-y-1)$

3. 最終的な答え

$(x+2y+3)(x-y-1)$