二つの三次方程式の解を求めます。 (5) $x^3 + x^2 - 5x - 2 = 0$ (6) $x^3 - 2x - 4 = 0$

1. 問題の内容

二つの三次方程式の解を求めます。

(5) $x^3 + x^2 - 5x - 2 = 0$

(6) $x^3 - 2x - 4 = 0$

2. 解き方の手順

(5) $x^3 + x^2 - 5x - 2 = 0$ を解く

まず、有理根定理を用いて、有理数の解の候補を探します。定数項は-2なので、候補は$\pm 1, \pm 2$です。これらの値を方程式に代入して確認します。

* $x = 1$: $1 + 1 - 5 - 2 = -5 \neq 0$

* $x = -1$: $-1 + 1 + 5 - 2 = 3 \neq 0$

* $x = 2$: $8 + 4 - 10 - 2 = 0$

$x=2$が解の一つであることがわかりました。したがって、$x - 2$は与えられた多項式の因数です。多項式を$x - 2$で割ります。

```

x^3 + x^2 - 5x - 2 = (x - 2)(x^2 + 3x + 1)

```

二次方程式 $x^2 + 3x + 1 = 0$ を解きます。解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この場合、$a = 1$, $b = 3$, $c = 1$なので、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、$x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$と$x = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$です。

(6) $x^3 - 2x - 4 = 0$ を解く

有理根定理を用いて、有理数の解の候補を探します。定数項は-4なので、候補は$\pm 1, \pm 2, \pm 4$です。これらの値を方程式に代入して確認します。

* $x = 1$: $1 - 2 - 4 = -5 \neq 0$

* $x = -1$: $-1 + 2 - 4 = -3 \neq 0$

* $x = 2$: $8 - 4 - 4 = 0$

$x=2$が解の一つであることがわかりました。したがって、$x - 2$は与えられた多項式の因数です。多項式を$x - 2$で割ります。

```

x^3 - 2x - 4 = (x - 2)(x^2 + 2x + 2)

```

二次方程式 $x^2 + 2x + 2 = 0$ を解きます。解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この場合、$a = 1$, $b = 2$, $c = 2$なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i$

したがって、$x = -1 + i$と$x = -1 - i$です。

3. 最終的な答え

(5) $x = 2, \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$

(6) $x = 2, -1 + i, -1 - i$