はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

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1. 問題の内容**

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3. 2点 $A(-4)$ と $B(8)$ を結ぶ線分 $AB$ について、以下の点の座標を求めます。

(1) 3:1 に内分する点 $C$

(2) 中点 $M$

(3) 3:1 に外分する点 $D$

(4) 1:4 に外分する点 $E$

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4. 次の2点間の距離を求めます。

(1) $A(2, 3), B(7, 5)$

(2) $A(-1, 2), B(5, -3)$

(3) $A(3, -4), B(3, 5)$

(4) 原点 $O, A(-12, -5)$

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5. 次の条件を満たす点 $P$ の座標を求めます。

(1) $y$ 軸上にあり、2点 $A(2, 1), B(-3, 2)$ から等距離にある点 $P$

(2) $x$ 軸上にあり、2点 $A(-5, 2), B(3, -5)$ から等距離にある点 $P$

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2. 解き方の手順**

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3. (1) 線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点の座標は、

$\frac{n x_1 + m x_2}{m+n}$ で求められます。

この場合、$A(-4)$, $B(8)$, $m=3$, $n=1$ なので、

$C = \frac{1(-4) + 3(8)}{3+1} = \frac{-4 + 24}{4} = \frac{20}{4} = 5$

(2) 中点は、線分を1:1に内分する点なので、

$M = \frac{-4+8}{2} = \frac{4}{2} = 2$

(3) 線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点の座標は、

$\frac{-n x_1 + m x_2}{m-n}$ で求められます。

この場合、$A(-4)$, $B(8)$, $m=3$, $n=1$ なので、

$D = \frac{-1(-4) + 3(8)}{3-1} = \frac{4 + 24}{2} = \frac{28}{2} = 14$

(4) 線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点の座標は、

$\frac{-n x_1 + m x_2}{m-n}$ で求められます。

この場合、$A(-4)$, $B(8)$, $m=1$, $n=4$ なので、

$E = \frac{-4(-4) + 1(8)}{1-4} = \frac{16+8}{-3} = \frac{24}{-3} = -8$

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4. (1) 2点間の距離は $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ で求められます。

$A(2, 3), B(7, 5)$ なので、

$\sqrt{(7-2)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$

(2) $A(-1, 2), B(5, -3)$ なので、

$\sqrt{(5-(-1))^2 + (-3-2)^2} = \sqrt{6^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61}$

(3) $A(3, -4), B(3, 5)$ なので、

$\sqrt{(3-3)^2 + (5-(-4))^2} = \sqrt{0^2 + 9^2} = \sqrt{81} = 9$

(4) 原点 $O(0, 0), A(-12, -5)$ なので、

$\sqrt{(-12-0)^2 + (-5-0)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$

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5. (1) $y$ 軸上の点なので、 $P(0, y)$ とおけます。

$AP = BP$ なので、$AP^2 = BP^2$ です。

$AP^2 = (2-0)^2 + (1-y)^2 = 4 + 1 - 2y + y^2 = y^2 - 2y + 5$

$BP^2 = (-3-0)^2 + (2-y)^2 = 9 + 4 - 4y + y^2 = y^2 - 4y + 13$

$y^2 - 2y + 5 = y^2 - 4y + 13$

$2y = 8$

$y = 4$

よって、$P(0, 4)$

(2) $x$ 軸上の点なので、 $P(x, 0)$ とおけます。

$AP = BP$ なので、$AP^2 = BP^2$ です。

$AP^2 = (-5-x)^2 + (2-0)^2 = 25 + 10x + x^2 + 4 = x^2 + 10x + 29$

$BP^2 = (3-x)^2 + (-5-0)^2 = 9 - 6x + x^2 + 25 = x^2 - 6x + 34$

$x^2 + 10x + 29 = x^2 - 6x + 34$

$16x = 5$

$x = \frac{5}{16}$

よって、$P(\frac{5}{16}, 0)$

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3. 最終的な答え**

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3. (1) $C(5)$

(2) $M(2)$

(3) $D(14)$

(4) $E(-8)$

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4. (1) $\sqrt{29}$

(2) $\sqrt{61}$

(3) $9$

(4) $13$

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5. (1) $P(0, 4)$

(2) $P(\frac{5}{16}, 0)$