(1) 3点(3, 0), (-1, 0), (-2, 5)を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求める。 (2) 放物線 $y = 3x^2$ を平行移動したもので、2点(1, 2), (-2, -4)を通る2次関数を求める。

1. 問題の内容

(1) 3点(3, 0), (-1, 0), (-2, 5)を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求める。

(2) 放物線 $y = 3x^2$ を平行移動したもので、2点(1, 2), (-2, -4)を通る2次関数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 求める2次関数を $y = a(x - 3)(x + 1)$ とおく。

なぜなら、$x=3$と$x=-1$のとき、$y=0$になるから。

点(-2, 5)を通るので、

$5 = a(-2 - 3)(-2 + 1)$

$5 = a(-5)(-1)$

$5 = 5a$

$a = 1$

したがって、求める2次関数は

$y = (x - 3)(x + 1)$

$y = x^2 - 2x - 3$

(2) 平行移動後の2次関数を $y = 3(x - p)^2 + q$ とおく。

なぜなら、$x^2$の係数が3だから。

点(1, 2)を通るので、

$2 = 3(1 - p)^2 + q$

点(-2, -4)を通るので、

$-4 = 3(-2 - p)^2 + q$

2つの式からqを消去する。

$2 - 3(1-p)^2 = -4 - 3(-2-p)^2$

$2 - 3(1 - 2p + p^2) = -4 - 3(4 + 4p + p^2)$

$2 - 3 + 6p - 3p^2 = -4 - 12 - 12p - 3p^2$

$-1 + 6p = -16 - 12p$

$18p = -15$

$p = -\frac{15}{18} = -\frac{5}{6}$

$2 = 3(1 + \frac{5}{6})^2 + q$

$2 = 3(\frac{11}{6})^2 + q$

$2 = 3 \cdot \frac{121}{36} + q$

$2 = \frac{121}{12} + q$

$q = 2 - \frac{121}{12} = \frac{24 - 121}{12} = -\frac{97}{12}$

したがって、求める2次関数は

$y = 3(x + \frac{5}{6})^2 - \frac{97}{12}$

$y = 3(x^2 + \frac{5}{3}x + \frac{25}{36}) - \frac{97}{12}$

$y = 3x^2 + 5x + \frac{25}{12} - \frac{97}{12}$

$y = 3x^2 + 5x - \frac{72}{12}$

$y = 3x^2 + 5x - 6$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 2x - 3$

(2) $y = 3x^2 + 5x - 6$