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はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

代数学式の計算平方根展開
2025/7/3
はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。
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1. 問題の内容**

次の4つの計算問題を解きます。
(1) (75−45)(20+27)(\sqrt{75} - \sqrt{45})(\sqrt{20} + \sqrt{27})
(2) (48−18)(27+8)(\sqrt{48} - \sqrt{18})(\sqrt{27} + \sqrt{8})
(3) (1+2−3)2(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})^2
(4) (5+7+3)(5+7−3)(\sqrt{5} + \sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{7} - \sqrt{3})
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2. 解き方の手順**

(1) (75−45)(20+27)(\sqrt{75} - \sqrt{45})(\sqrt{20} + \sqrt{27})
まず、各項を簡単にします。
75=25×3=53\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}
45=9×5=35\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}
20=4×5=25\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}
27=9×3=33\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}
与式は (53−35)(25+33)(5\sqrt{3} - 3\sqrt{5})(2\sqrt{5} + 3\sqrt{3}) となります。
展開すると、
53×25+53×33−35×25−35×335\sqrt{3} \times 2\sqrt{5} + 5\sqrt{3} \times 3\sqrt{3} - 3\sqrt{5} \times 2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} \times 3\sqrt{3}
=1015+15×3−6×5−915= 10\sqrt{15} + 15 \times 3 - 6 \times 5 - 9\sqrt{15}
=1015+45−30−915= 10\sqrt{15} + 45 - 30 - 9\sqrt{15}
=15+15= \sqrt{15} + 15
(2) (48−18)(27+8)(\sqrt{48} - \sqrt{18})(\sqrt{27} + \sqrt{8})
同様に、各項を簡単にします。
48=16×3=43\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}
18=9×2=32\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}
27=9×3=33\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}
8=4×2=22\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}
与式は (43−32)(33+22)(4\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(3\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) となります。
展開すると、
43×33+43×22−32×33−32×224\sqrt{3} \times 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \times 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \times 3\sqrt{3} - 3\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}
=12×3+86−96−6×2= 12 \times 3 + 8\sqrt{6} - 9\sqrt{6} - 6 \times 2
=36+86−96−12= 36 + 8\sqrt{6} - 9\sqrt{6} - 12
=24−6= 24 - \sqrt{6}
(3) (1+2−3)2(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})^2
(1+2−3)2=(1+2−3)(1+2−3)(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = (1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})
=1+2−3+2+2−6−3−6+3= 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} - \sqrt{3} - \sqrt{6} + 3
=1+2+3+2+2−3−3−6−6= 1 + 2 + 3 + \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{6} - \sqrt{6}
=6+22−23−26= 6 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}
(4) (5+7+3)(5+7−3)(\sqrt{5} + \sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{7} - \sqrt{3})
これは (A+B)(A−B)=A2−B2(A + B)(A - B) = A^2 - B^2 の形を利用できます。
ここで、A=5+7A = \sqrt{5} + \sqrt{7}、B=3B = \sqrt{3} とすると、
(5+7)2−(3)2=(5)2+257+(7)2−3(\sqrt{5} + \sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 - 3
=5+235+7−3=9+235= 5 + 2\sqrt{35} + 7 - 3 = 9 + 2\sqrt{35}
**

3. 最終的な答え**

(1) 15+15\sqrt{15} + 15
(2) 24−624 - \sqrt{6}
(3) 6+22−23−266 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}
(4) 9+2359 + 2\sqrt{35}

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