次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求める。 (1) $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_{n+2} + 3a_{n+1} - 4a_n = 0$ (2) $a_1 = 0$, $a_2 = 1$, $a_{n+2} + 5a_{n+1} + 6a_n = 0$ (3) $a_1 = 1$, $a_2 = 4$, $a_{n+2} - 6a_{n+1} + 9a_n = 0$

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求める。

(1) $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_{n+2} + 3a_{n+1} - 4a_n = 0$

(2) $a_1 = 0$, $a_2 = 1$, $a_{n+2} + 5a_{n+1} + 6a_n = 0$

(3) $a_1 = 1$, $a_2 = 4$, $a_{n+2} - 6a_{n+1} + 9a_n = 0$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+2} + 3a_{n+1} - 4a_n = 0$ の特性方程式は、

$x^2 + 3x - 4 = 0$

$(x+4)(x-1) = 0$

$x = -4, 1$

したがって、一般項は $a_n = A(-4)^n + B(1)^n = A(-4)^n + B$ と表される。

$a_1 = 1$ より、 $-4A + B = 1$

$a_2 = 2$ より、 $16A + B = 2$

2つの式を引き算して、$20A = 1$, $A = \frac{1}{20}$

$B = 1 + 4A = 1 + \frac{4}{20} = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$

よって、$a_n = \frac{1}{20}(-4)^n + \frac{6}{5}$

(2) $a_{n+2} + 5a_{n+1} + 6a_n = 0$ の特性方程式は、

$x^2 + 5x + 6 = 0$

$(x+2)(x+3) = 0$

$x = -2, -3$

したがって、一般項は $a_n = A(-2)^n + B(-3)^n$ と表される。

$a_1 = 0$ より、 $-2A - 3B = 0$

$a_2 = 1$ より、 $4A + 9B = 1$

$-2A = 3B$, $A = -\frac{3}{2}B$ を $4A + 9B = 1$ に代入して、

$4(-\frac{3}{2}B) + 9B = 1$

$-6B + 9B = 1$

$3B = 1$, $B = \frac{1}{3}$

$A = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}$

よって、$a_n = -\frac{1}{2}(-2)^n + \frac{1}{3}(-3)^n$

(3) $a_{n+2} - 6a_{n+1} + 9a_n = 0$ の特性方程式は、

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x = 3$ (重解)

したがって、一般項は $a_n = (An + B)3^n$ と表される。

$a_1 = 1$ より、 $(A + B)3 = 1$, $A + B = \frac{1}{3}$

$a_2 = 4$ より、 $(2A + B)3^2 = 4$, $2A + B = \frac{4}{9}$

2つの式を引き算して、$A = \frac{4}{9} - \frac{1}{3} = \frac{4 - 3}{9} = \frac{1}{9}$

$B = \frac{1}{3} - A = \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{3 - 1}{9} = \frac{2}{9}$

よって、$a_n = (\frac{1}{9}n + \frac{2}{9})3^n = \frac{n+2}{9}3^n = \frac{(n+2)3^n}{9} = (n+2)3^{n-2}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{1}{20}(-4)^n + \frac{6}{5}$

(2) $a_n = -\frac{1}{2}(-2)^n + \frac{1}{3}(-3)^n$

(3) $a_n = (n+2)3^{n-2}$