与えられた2つの対数方程式を解きます。 (1) $\log_4 x + \log_4 (x-6) = 2$ (2) $\log_2 (x+5) + \log_2 (x-2) = 3$

1. 問題の内容

与えられた2つの対数方程式を解きます。

(1) $\log_4 x + \log_4 (x-6) = 2$

(2) $\log_2 (x+5) + \log_2 (x-2) = 3$

2. 解き方の手順

(1) $\log_4 x + \log_4 (x-6) = 2$

まず、対数の性質を用いて左辺をまとめます。

$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ を用いると、

$\log_4 (x(x-6)) = 2$

$\log_4 (x^2 - 6x) = 2$

次に、対数の定義から、$x^2 - 6x$ を求めます。

$x^2 - 6x = 4^2$

$x^2 - 6x = 16$

$x^2 - 6x - 16 = 0$

この二次方程式を解きます。

$(x - 8)(x + 2) = 0$

$x = 8, -2$

対数の真数は正である必要があるため、$x > 0$ かつ $x - 6 > 0$、つまり、$x > 6$ が必要です。

したがって、$x = 8$ のみが解となります。

(2) $\log_2 (x+5) + \log_2 (x-2) = 3$

まず、対数の性質を用いて左辺をまとめます。

$\log_2 ((x+5)(x-2)) = 3$

次に、対数の定義から、$(x+5)(x-2)$ を求めます。

$(x+5)(x-2) = 2^3$

$x^2 + 3x - 10 = 8$

$x^2 + 3x - 18 = 0$

この二次方程式を解きます。

$(x + 6)(x - 3) = 0$

$x = -6, 3$

対数の真数は正である必要があるため、$x+5 > 0$ かつ $x-2 > 0$、つまり、$x > -5$ かつ $x > 2$、よって、$x > 2$ が必要です。

したがって、$x = 3$ のみが解となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 8$

(2) $x = 3$