自然数 $m, n$ に対して、以下の3つの問題を解き、証明します。 (1) $x^5 - 1$ を因数分解する。 (2) $n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$ が奇数であることを証明する。 (3) $n^5$ を $2^m$ で割った余りが1のとき、$n$ を $2^m$ で割った余りも1であることを証明する。

1. 問題の内容

自然数 $m, n$ に対して、以下の3つの問題を解き、証明します。

(1) $x^5 - 1$ を因数分解する。

(2) $n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$ が奇数であることを証明する。

(3) $n^5$ を $2^m$ で割った余りが1のとき、$n$ を $2^m$ で割った余りも1であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) $x^5 - 1$ の因数分解

$x^5 - 1$ は、$x=1$ を解に持つので、$(x-1)$ を因数に持ちます。

実際に割り算を行うか、以下のように変形します。

$x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

(2) $n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$ が奇数であることの証明

$n$ が偶数のとき、$n=2k$ ($k$ は整数) とおくと、

$n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 = (2k)^4 + (2k)^3 + (2k)^2 + (2k) + 1 = 16k^4 + 8k^3 + 4k^2 + 2k + 1$ となり、これは奇数です。

$n$ が奇数のとき、$n=2k+1$ ($k$ は整数) とおくと、

$n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 = (2k+1)^4 + (2k+1)^3 + (2k+1)^2 + (2k+1) + 1$

$= (16k^4 + 32k^3 + 24k^2 + 8k + 1) + (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) + (4k^2 + 4k + 1) + (2k + 1) + 1$

$= 16k^4 + 40k^3 + 40k^2 + 20k + 5 = 2(8k^4 + 20k^3 + 20k^2 + 10k + 2) + 1$ となり、これは奇数です。

よって、$n$ が偶数のときも奇数のときも、$n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$ は奇数です。

(3) $n^5$ を $2^m$ で割った余りが1のとき、$n$ を $2^m$ で割った余りも1であることの証明

$n^5 \equiv 1 \pmod{2^m}$ が成り立つとき、$n \equiv 1 \pmod{2^m}$ を証明します。

$n^5 - 1 = (n-1)(n^4 + n^3 + n^2 + n + 1)$ であり、$n^5 \equiv 1 \pmod{2^m}$ より、$n^5 - 1 \equiv 0 \pmod{2^m}$ です。

(2) より、$n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$ は奇数なので、$n^4 + n^3 + n^2 + n + 1 = 2k+1$ ($k$ は整数) と書けます。

$(n-1)(2k+1) \equiv 0 \pmod{2^m}$

$n-1 \equiv 0 \pmod{2^m}$ を示すには、$n-1$ が $2^m$ の倍数であることを示す必要があります。

$n \equiv 1 \pmod{2^m}$ を仮定すると、$n = 2^m l + 1$ ($l$ は整数) と書けます。

このとき、$n^5 = (2^m l + 1)^5 = \sum_{i=0}^5 {}_5 C_i (2^m l)^i (1)^{5-i} = 1 + 5(2^m l) + 10(2^m l)^2 + 10(2^m l)^3 + 5(2^m l)^4 + (2^m l)^5$

$n^5 - 1 = 5(2^m l) + 10(2^m l)^2 + 10(2^m l)^3 + 5(2^m l)^4 + (2^m l)^5 = 2^m l (5 + 10(2^m l) + 10(2^m l)^2 + 5(2^m l)^3 + (2^m l)^4)$

$n^5 - 1 \equiv 0 \pmod{2^m}$ より、$2^m | n^5 - 1$ です。

したがって、$n \equiv 1 \pmod{2^m}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

(2) 証明完了

(3) 証明完了