与えられた行列式の値を計算する。

## 問題の回答

画像に示された行列式の問題のうち、(1)から(9)までのすべてを解きます。

1. 問題の内容

与えられた行列式の値を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の行列式:

$\begin{vmatrix} 22 & 28 \\ 49 & 64 \end{vmatrix} = (22)(64) - (28)(49) = 1408 - 1372 = 36$

(2) 3x3行列の行列式:

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix} = 1(5 \cdot 9 - 8 \cdot 6) - 4(2 \cdot 9 - 8 \cdot 3) + 7(2 \cdot 6 - 5 \cdot 3) = 1(45 - 48) - 4(18 - 24) + 7(12 - 15) = -3 + 24 - 21 = 0$

(3) 3x3行列の行列式:

$\begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 12 & 0 & 9 \\ -8 & 7 & 6 \end{vmatrix} = 4(0 \cdot 6 - 9 \cdot 7) - 1(12 \cdot 6 - 9 \cdot (-8)) + 3(12 \cdot 7 - 0 \cdot (-8)) = 4(-63) - 1(72 + 72) + 3(84) = -252 - 144 + 252 = -144$

(4) 4x4行列の行列式:

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 & 4 \\ 4 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix}$

1行目で展開する.

$= 0 C_{11} - 1 C_{12} + 3 C_{13} - 4 C_{14}$

ここで、$C_{ij}$は(i,j)余因子である。

$= -1 \begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 4 & 0 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix}$

$= -1(4(0-4) -1(0-1) + 3(12-0)) + 3(4(0-3) - 0 + 3(9-4)) - 4(4(16-0) - 0 + 1(9-4)) = -1(-16+1+36) + 3(-12+15) - 4(64+5) = -21 + 9 - 276 = -288$

(5) 4x4行列の行列式:

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{vmatrix}$

1行目で展開する.

$= 0 C_{11} + 0 C_{12} + 0 C_{13} + 3 C_{14}$

$= 3 (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 0 & 5 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = -3(0 - 0 + (-3)(0-20)) = -3(60) = -180$

(6) 4x4行列の行列式:

$\begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & 2 & 0 \\ 7 & 0 & -4 & 0 \\ -3 & 5 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

4列目で展開する.

$= 2 \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 2 \\ 7 & 0 & -4 \end{vmatrix} = 2(0 - 2(4 - 14) + 0) = 2(-2(-10)) = 40$

(7) 5x5行列の行列式:

$\begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

2列目で展開する.

$= -3 \begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

3行目で展開する.

$= -3 (-2) \begin{vmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 6(2(4(-2)-1)) = 12(-8-1) = -108$

(8) 3x3行列の行列式:

$\begin{vmatrix} 101 & 99 & 98 \\ 101 & 100 & 102 \\ 102 & 97 & 100 \end{vmatrix}$

1行目を基準に、2行目から1行目を引く, 3行目から1行目を引く

$\begin{vmatrix} 101 & 99 & 98 \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = 101(2+8) - 99(0-4) + 98(0-1) = 1010 + 396 - 98 = 1308$

(9) 3x3行列の行列式:

$\begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{2}(\frac{1}{4} - \frac{1}{12}) - \frac{1}{3}(\frac{1}{12} - \frac{1}{9}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{16} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{12} - \frac{1}{3} \cdot \frac{-1}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{-5}{48} = \frac{1}{12} + \frac{1}{108} - \frac{5}{192} = \frac{1}{12} + \frac{1}{108} - \frac{5}{192} = \frac{864 + 192 - 270}{2304} = \frac{786}{2304} = \frac{131}{384}$

3. 最終的な答え

(1) 36

(2) 0

(3) -144

(4) -288

(5) -180

(6) 40

(7) -108

(8) 1308

(9) 131/384