与えられた命題A, B, C, Dの真偽を判定し、それらの関係を調べ、最後に条件 $x^2 - 5x + 6 = 0$ の否定を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた命題A, B, C, Dの真偽を判定し、それらの関係を調べ、最後に条件 $x^2 - 5x + 6 = 0$ の否定を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) (i) 命題A: $a^2 - 3a + 2 = 0$ ならば $a = 1$ である。

$a^2 - 3a + 2 = (a - 1)(a - 2) = 0$ より、$a = 1$ または $a = 2$ です。

$a = 2$ のとき、$a = 1$ ではないので、命題Aは偽です。（ア）

(ii) 命題B: $a^2 - 3a + 2 \neq 0$ ならば $a \neq 1$ である。

これは命題Aの裏です。（イ）

命題Bの対偶は、命題Aの逆であり、$a = 1$ ならば $a^2 - 3a + 2 = 0$ である。

これは真です。

従って、命題Bも真です。（ウ）

(iii) 命題C: $|x - 5| < 1$ ならば $x^2 > 4$ である。

$|x - 5| < 1$ より $-1 < x - 5 < 1$ なので、$4 < x < 6$ です。

$x = 5$ のとき、$x^2 = 25 > 4$ ですが、$x$ が4に近い時、例えば、$x = 4.1$とすると$x^2 = 16.81 > 4$　$x=5.9$とすると$x^2 = 34.81 > 4$

ですが、 $x=2.1$のとき$|x-5|<1$が成り立ち$x<4$となり、$x^2<4$となります。

したがって、命題Cは偽です。（エ）

(iv) 命題D: $x^2 \leq 4$ ならば $|x - 5| \geq 1$ である。

これは命題Cの対偶です。（オ）

$x^2 \leq 4$ より $-2 \leq x \leq 2$ です。

このとき、$|x - 5| \geq | -2 - 5| = 7 \geq 1$ です。

また、$|x - 5| \geq |2 - 5| = 3 \geq 1$ です。

したがって、命題Dは真です。（カ）

(2) 条件 $x^2 - 5x + 6 = 0$ の否定を求める。

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$ より、$x = 2$ または $x = 3$ です。

否定は、$x \neq 2$ かつ $x \neq 3$ です。（キ）

3. 最終的な答え

ア: 1 (偽)

イ: 3 (裏)

ウ: 0 (真)

エ: 1 (偽)

オ: 4 (対偶)

カ: 0 (真)

キ: 3 ($x \neq 2$ かつ $x \neq 3$)