問題7：2次方程式 $4(x-2)^2 + 10(x-2) + 5 = 0$ を解く。 問題8：9で割っても12で割っても、余りが7になる3桁の自然数の個数を求める。 問題9：関数 $y = -2x + b$ において、$x$ の変域が $-3 \le x \le 2$ のとき、$y$ の変域が $-7 \le y \le 3$ である。このとき、$b$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題7：2次方程式 $4(x-2)^2 + 10(x-2) + 5 = 0$ を解く。

問題8：9で割っても12で割っても、余りが7になる3桁の自然数の個数を求める。

問題9：関数 $y = -2x + b$ において、$x$ の変域が $-3 \le x \le 2$ のとき、$y$ の変域が $-7 \le y \le 3$ である。このとき、$b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

問題7：

$A = x - 2$ とおくと、与えられた方程式は $4A^2 + 10A + 5 = 0$ となる。

解の公式より、

$A = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 80}}{8} = \frac{-10 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{4}$

$x - 2 = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{4}$ より、

$x = 2 + \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{4} = \frac{8}{4} + \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$

問題8：

9と12の最小公倍数は36である。

9で割っても12で割っても余りが7になる数は、36で割ると余りが7になる数である。

したがって、求める数は $36n + 7$ と表せる。ここで、$n$ は整数である。

これが3桁の自然数なので、$100 \le 36n + 7 \le 999$ を満たす $n$ を求める。

$93 \le 36n \le 992$

$\frac{93}{36} \le n \le \frac{992}{36}$

$2.583... \le n \le 27.555...$

$n$ は整数なので、$3 \le n \le 27$

したがって、$n$ の個数は $27 - 3 + 1 = 25$ 個である。

問題9：

関数 $y = -2x + b$ は、$x$ の係数が負なので減少関数である。

$x = -3$ のとき $y = -2(-3) + b = 6 + b$

$x = 2$ のとき $y = -2(2) + b = -4 + b$

$x$ の変域が $-3 \le x \le 2$ のとき、$y$ の変域が $-7 \le y \le 3$ なので、

$6 + b = 3$ かつ $-4 + b = -7$

$b = 3 - 6 = -3$

$b = -7 + 4 = -3$

よって $b = -3$

3. 最終的な答え

問題7：$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}, \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

問題8：25個

問題9：$b = -3$