数列に関する以下の3つの問題に答えます。 (1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 2n$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 2$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (3) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 4a_n - 1$ で与えられるとき、一般項を求めます。

1. 問題の内容

数列に関する以下の3つの問題に答えます。

(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 2n$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

(2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 2$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 4a_n - 1$ で与えられるとき、一般項を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = a_n + 2n$ より、階差数列の公式を用いると

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n^2 - n = n^2 - n + 1$

(2) $a_{n+1} = 3a_n - 2$ を変形すると

$a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$

よって、数列 $\{a_n - 1\}$ は、初項 $a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$, 公比 $3$ の等比数列である。

したがって、 $a_n - 1 = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$ より $a_n = 3^{n-1} + 1$

(3) $S_n = 4a_n - 1$ より、

$S_1 = a_1 = 4a_1 - 1$ よって $3a_1 = 1$ より $a_1 = \frac{1}{3}$

$S_{n+1} = 4a_{n+1} - 1$ であり $S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$ であるから、

$S_n + a_{n+1} = 4a_{n+1} - 1$ より $a_{n+1} = \frac{1}{3} S_n + \frac{1}{3}$

$S_n = 4a_n - 1$ より $a_{n+1} = \frac{1}{3} (4a_n - 1) + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} a_n$

よって、数列 $\{a_n\}$ は初項 $\frac{1}{3}$ 公比 $\frac{4}{3}$ の等比数列である。

したがって、$a_n = \frac{1}{3} (\frac{4}{3})^{n-1} = \frac{4^{n-1}}{3^n}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - n + 1$

(2) $a_n = 3^{n-1} + 1$

(3) $a_n = \frac{4^{n-1}}{3^n}$