不等式 $3x^4 - 4ax^3 - 6x^2 + 12ax + 7 \geq 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つような $a$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $3x^4 - 4ax^3 - 6x^2 + 12ax + 7 \geq 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つような $a$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を $f(x) = 3x^4 - 4ax^3 - 6x^2 + 12ax + 7$ とおきます。

この不等式がすべての $x$ で成立するためには、特に $x=1$と$x=-1$のときも成立する必要があります。

$x=1$のとき

$f(1) = 3 - 4a - 6 + 12a + 7 = 8a + 4 \geq 0$

よって、$a \geq -\frac{1}{2}$

$x=-1$のとき

$f(-1) = 3 + 4a - 6 - 12a + 7 = -8a + 4 \geq 0$

よって、$a \leq \frac{1}{2}$

したがって、 $-\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$ でなければなりません。

次に、$a=0$のとき、$3x^4 - 6x^2 + 7 \geq 0$ であることを確認します。

$g(x) = 3x^4 - 6x^2 + 7 = 3(x^2 - 1)^2 + 4$ なので、$g(x) \geq 4 > 0$ となり、不等式は成立します。

$f(x) = 3x^4 - 4ax^3 - 6x^2 + 12ax + 7 = 3x^4 - 6x^2 + 7 - 4ax^3 + 12ax$

$= 3x^4 - 6x^2 + 7 - 4ax(x^2 - 3)$

ここで、$a = \pm \frac{1}{2}$ の場合を考えます。

$a = \frac{1}{2}$ のとき

$f(x) = 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 7 \geq 0$

$a = -\frac{1}{2}$ のとき

$f(x) = 3x^4 + 2x^3 - 6x^2 - 6x + 7 \geq 0$

$x^2-3=0$ つまり $x=\pm\sqrt{3}$ の時、$f(x)=3x^4 - 6x^2 + 7=3*9 - 6*3 + 7 = 27-18+7=16>0$

また、$f'(x) = 12x^3 - 12x -12 ax^2 + 12a = 12(x-1)(x+1)(x) - 12a(x^2-1) =0$

よって，$x = \pm 1$

一般に、4次式 $f(x)$ が常に非負であるためには、$f(x)$ の最小値が0以上である必要があります。

$f(x) = 3x^4 - 4ax^3 - 6x^2 + 12ax + 7$

$f'(x) = 12x^3 - 12ax^2 - 12x + 12a = 12(x^3 - ax^2 - x + a) = 12(x-a)(x^2 - 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = a, 1, -1$ のときです。

$-\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$ であり、$x=1,-1$の時、$f(x)\geq 0$であることはわかっています。

$a = 0$ の場合、$f(x) = 3x^4 - 6x^2 + 7 = 3(x^2 - 1)^2 + 4 \geq 4 > 0$ となるので、$a=0$ は条件を満たします。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$