与えられた4x4行列の行列式を、第3行に沿った余因子展開を用いて計算する問題です。 行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 & -5 \\ 3 & -2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、第3行に沿った余因子展開を用いて計算する問題です。

行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 3 & -4 & -5 \\

3 & -2 & 1 & 0 \\

5 & 0 & 0 & 2 \\

0 & 3 & -2 & 1

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

第3行に沿った余因子展開を行うために、以下の手順に従います。

行列をAとすると、det(A)は以下の式で計算できます。

$det(A) = \sum_{j=1}^{4} a_{3j}C_{3j}$

ここで、$a_{3j}$ は行列Aの第3行のj番目の要素、$C_{3j}$ は$a_{3j}$ に対応する余因子です。

余因子 $C_{3j}$ は、$C_{3j} = (-1)^{3+j} M_{3j}$ で計算されます。ここで、$M_{3j}$ は小行列式と呼ばれ、行列Aから第3行とj列を取り除いた3x3行列の行列式です。

したがって、この問題では、

$det(A) = a_{31}C_{31} + a_{32}C_{32} + a_{33}C_{33} + a_{34}C_{34}$

$det(A) = 5C_{31} + 0C_{32} + 0C_{33} + 2C_{34}$

$det(A) = 5C_{31} + 2C_{34}$

$C_{31} = (-1)^{3+1}M_{31} = M_{31}$

$M_{31} = \begin{vmatrix} 3 & -4 & -5 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 3(1 - 0) - (-4)(-2 - 0) + (-5)(4 - 3) = 3 - 8 - 5 = -10$

$C_{34} = (-1)^{3+4}M_{34} = -M_{34}$

$M_{34} = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} = 2(4 - 3) - 3(-6 - 0) + (-4)(9 - 0) = 2 + 18 - 36 = -16$

$C_{34} = -(-16) = 16$

$det(A) = 5(-10) + 2(16) = -50 + 32 = -18$

3. 最終的な答え

-18