定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = x^2 - 2x + 1$ の区間 $a \leq x \leq a+1$ における最小値と最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = x^2 - 2x + 1$ の区間 $a \leq x \leq a+1$ における最小値と最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

このグラフは下に凸の放物線で、頂点の座標は $(1, 0)$ です。

(1) 最小値を求める場合：

区間 $a \leq x \leq a+1$ における最小値は、頂点の $x$ 座標 $x=1$ がこの区間内に含まれるかどうかで場合分けします。

(i) $a+1 < 1$ つまり $a < 0$ のとき、区間 $a \leq x \leq a+1$ で $x$ は増加するので、$x=a+1$ のときに最小値をとります。最小値は $y=(a+1-1)^2 = a^2$

(ii) $a \leq 1 \leq a+1$ つまり $0 \leq a \leq 1$ のとき、区間内に頂点 $x=1$ が含まれるので、$x=1$ のときに最小値をとります。最小値は $y=(1-1)^2 = 0$

(iii) $a > 1$ のとき、区間 $a \leq x \leq a+1$ で $x$ は増加するので、$x=a$ のときに最小値をとります。最小値は $y=(a-1)^2$

(2) 最大値を求める場合：

区間 $a \leq x \leq a+1$ の中央の値は $x = a + \frac{1}{2}$ です。

頂点の $x$ 座標 $x=1$ がこの中央の値より小さいか大きいかで場合分けします。

(i) $a+\frac{1}{2} \leq 1$ つまり $a \leq \frac{1}{2}$ のとき、区間 $a \leq x \leq a+1$ で $x=a$ の方が頂点から遠いので、$x=a$ のときに最大値をとります。最大値は $y=(a-1)^2$

(ii) $a+\frac{1}{2} > 1$ つまり $a > \frac{1}{2}$ のとき、区間 $a \leq x \leq a+1$ で $x=a+1$ の方が頂点から遠いので、$x=a+1$ のときに最大値をとります。最大値は $y=(a+1-1)^2 = a^2$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$a < 0$ のとき、最小値は $a^2$

$0 \leq a \leq 1$ のとき、最小値は $0$

$a > 1$ のとき、最小値は $(a-1)^2$

(2) 最大値

$a \leq \frac{1}{2}$ のとき、最大値は $(a-1)^2$

$a > \frac{1}{2}$ のとき、最大値は $a^2$