関数 $f(x) = x^2 - 6x + 10$ と $g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 8$ が与えられています。 (1) $y = f(x)$ と $y = g(x)$ のグラフを描く。 (2) $g(x) - f(x)$ が最大となるような $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 6x + 10$ と $g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 8$ が与えられています。

(1) $y = f(x)$ と $y = g(x)$ のグラフを描く。

(2) $g(x) - f(x)$ が最大となるような $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフを描くために、それぞれの関数について考える。

まず、$f(x)$ について平方完成を行う。

$f(x) = x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 - 9 + 10 = (x - 3)^2 + 1$

これは、頂点が $(3, 1)$ で、下に凸の放物線である。

次に、$g(x)$ は $g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 8$ である。

これは、頂点が $(0, 8)$ で、下に凸の放物線である。

$f(x)$ と $g(x)$ のいくつか適当な値を計算してグラフを描く。

(2) $g(x) - f(x)$ を計算する。

$g(x) - f(x) = (\frac{1}{2}x^2 + 8) - (x^2 - 6x + 10) = \frac{1}{2}x^2 + 8 - x^2 + 6x - 10 = -\frac{1}{2}x^2 + 6x - 2$

$g(x) - f(x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 12x) - 2 = -\frac{1}{2}(x^2 - 12x + 36 - 36) - 2 = -\frac{1}{2}(x - 6)^2 + 18 - 2 = -\frac{1}{2}(x - 6)^2 + 16$

$g(x) - f(x)$ が最大となるのは、平方完成した式より $x = 6$ のときである。

最大値は $16$ である。

3. 最終的な答え

(1) グラフについては省略。$f(x)=(x-3)^2+1$ (頂点$(3,1)$), $g(x)=\frac{1}{2}x^2+8$ (頂点$(0,8)$)

(2) $x = 6$