以下の5つの3次または4次方程式を解く問題です。 (1) $x^3 - 8 = 0$ (2) $x^4 - 4x^2 - 12 = 0$ (3) $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$ (4) $x^3 - 8x^2 + 17x - 10 = 0$ (5) $x^3 - 12x + 16 = 0$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の5つの3次または4次方程式を解く問題です。

(1) $x^3 - 8 = 0$

(2) $x^4 - 4x^2 - 12 = 0$

(3) $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

(4) $x^3 - 8x^2 + 17x - 10 = 0$

(5) $x^3 - 12x + 16 = 0$

2. 解き方の手順

各方程式を順番に解いていきます。

(1) $x^3 - 8 = 0$

$x^3 = 8$

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

これは実数解の一つです。複素数解も求めると、

$x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) = 0$

$x^2 + 2x + 4 = 0$ を解くと、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(4)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$

したがって、$x = 2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$

(2) $x^4 - 4x^2 - 12 = 0$

$y = x^2$ とおくと、$y^2 - 4y - 12 = 0$

$(y - 6)(y + 2) = 0$

$y = 6, -2$

$x^2 = 6 \implies x = \pm \sqrt{6}$

$x^2 = -2 \implies x = \pm i\sqrt{2}$

したがって、$x = \sqrt{6}, -\sqrt{6}, i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}$

(3) $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$

$x^2(x - 2) - (x - 2) = 0$

$(x^2 - 1)(x - 2) = 0$

$(x - 1)(x + 1)(x - 2) = 0$

したがって、$x = 1, -1, 2$

(4) $x^3 - 8x^2 + 17x - 10 = 0$

$P(x) = x^3 - 8x^2 + 17x - 10$

$P(1) = 1 - 8 + 17 - 10 = 0$

したがって、$x = 1$ は解の一つ。

$(x - 1)(x^2 - 7x + 10) = 0$

$(x - 1)(x - 2)(x - 5) = 0$

したがって、$x = 1, 2, 5$

(5) $x^3 - 12x + 16 = 0$

$P(x) = x^3 - 12x + 16$

$P(2) = 8 - 24 + 16 = 0$

したがって、$x = 2$ は解の一つ。

$(x - 2)(x^2 + 2x - 8) = 0$

$(x - 2)(x + 4)(x - 2) = 0$

$(x - 2)^2 (x + 4) = 0$

したがって、$x = 2, 2, -4$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$

(2) $x = \sqrt{6}, -\sqrt{6}, i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}$

(3) $x = 1, -1, 2$

(4) $x = 1, 2, 5$

(5) $x = 2, -4$