数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$について、次の条件が与えられている。 * $\{a_n\}$は等差数列であり、$a_3 = 12$、$a_5 + a_8 = 52$を満たす。 * $\{b_n\}$は等差数列であり、初項から第6項までの和が132、第7項から第12項までの和が276である。 (1) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表す。 (2) 数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$を用いて表す。 (3) 数列$\{c_n\}$を$c_n = \frac{a_n}{b_n}$ (n = 1, 2, 3, ...)で定義する。数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの積を$T_n$とする。このとき、$T_{99}$を求めよ。また、$\sum_{k=1}^{99} T_k$を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$について、次の条件が与えられている。

* $\{a_n\}$は等差数列であり、$a_3 = 12$、$a_5 + a_8 = 52$を満たす。

* $\{b_n\}$は等差数列であり、初項から第6項までの和が132、第7項から第12項までの和が276である。

(1) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表す。

(2) 数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$を用いて表す。

(3) 数列$\{c_n\}$を$c_n = \frac{a_n}{b_n}$ (n = 1, 2, 3, ...)で定義する。数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの積を$T_n$とする。このとき、$T_{99}$を求めよ。また、$\sum_{k=1}^{99} T_k$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列$\{a_n\}$の一般項を求める。

$\{a_n\}$は等差数列なので、初項を$a$、公差を$d$とすると、$a_n = a + (n-1)d$と表せる。

$a_3 = a + 2d = 12$

$a_5 + a_8 = (a + 4d) + (a + 7d) = 2a + 11d = 52$

連立方程式を解く。

$2(a + 2d) = 24$より、$2a + 4d = 24$

$2a + 11d - (2a + 4d) = 52 - 24$

$7d = 28$

$d = 4$

$a + 2d = a + 2(4) = a + 8 = 12$

$a = 4$

よって、$a_n = 4 + (n-1)4 = 4 + 4n - 4 = 4n$

(2) 数列$\{b_n\}$の一般項を求める。

$\{b_n\}$は等差数列なので、初項を$b$、公差を$e$とすると、$b_n = b + (n-1)e$と表せる。

初項から第6項までの和は、$\frac{6}{2}(2b + (6-1)e) = 3(2b + 5e) = 6b + 15e = 132$

第7項から第12項までの和は、第12項までの和から第6項までの和を引いたものなので、

$\frac{12}{2}(2b + (12-1)e) - \frac{6}{2}(2b + (6-1)e) = 6(2b + 11e) - 3(2b + 5e) = 12b + 66e - 6b - 15e = 6b + 51e = 276$

連立方程式を解く。

$6b + 15e = 132$

$6b + 51e = 276$

$(6b + 51e) - (6b + 15e) = 276 - 132$

$36e = 144$

$e = 4$

$6b + 15(4) = 6b + 60 = 132$

$6b = 72$

$b = 12$

よって、$b_n = 12 + (n-1)4 = 12 + 4n - 4 = 4n + 8$

(3) 数列$\{c_n\}$の一般項は、$c_n = \frac{a_n}{b_n} = \frac{4n}{4n+8} = \frac{n}{n+2}$

数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの積$T_n$は、

$T_n = \prod_{k=1}^{n} c_k = \prod_{k=1}^{n} \frac{k}{k+2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{6} \cdots \frac{n-2}{n} \cdot \frac{n-1}{n+1} \cdot \frac{n}{n+2} = \frac{1 \cdot 2}{(n+1)(n+2)} = \frac{2}{(n+1)(n+2)}$

$T_{99} = \frac{2}{(99+1)(99+2)} = \frac{2}{100 \cdot 101} = \frac{2}{10100} = \frac{1}{5050}$

$\sum_{k=1}^{99} T_k = \sum_{k=1}^{99} \frac{2}{(k+1)(k+2)} = 2 \sum_{k=1}^{99} (\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}) = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{100} - \frac{1}{101}) = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{101}) = 2 (\frac{101 - 2}{202}) = 2 (\frac{99}{202}) = \frac{99}{101}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 4n$

(2) $b_n = 4n + 8$

(3) $T_{99} = \frac{1}{5050}$, $\sum_{k=1}^{99} T_k = \frac{99}{101}$