与えられた二次関数 $f(x) = x^2 - 6x + 10$ と $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 8$ について、(1) $y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフを描き、(2) $g(x) - f(x)$ が最大となるときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $f(x) = x^2 - 6x + 10$ と $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 8$ について、(1) $y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフを描き、(2) $g(x) - f(x)$ が最大となるときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) グラフを描く

まず、関数 $f(x)$ と $g(x)$ のグラフを描きます。$f(x)$ は $f(x) = (x-3)^2 + 1$ と変形できるため、頂点が $(3, 1)$ の下に凸な放物線です。$g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 8$ は頂点が $(0, 8)$ の上に凸な放物線です。これらのグラフを描きます。画像にグラフの軸がありますが、グラフを描画するツールがないため、グラフの描画は省略します。

(2) $g(x) - f(x)$ が最大となる $x$ の値を求める

$h(x) = g(x) - f(x)$ とおきます。

$h(x) = (-\frac{1}{2}x^2 + 8) - (x^2 - 6x + 10)$

$h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 8 - x^2 + 6x - 10$

$h(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 6x - 2$

$h(x)$ が最大となる $x$ を求めるために、$h(x)$ を平方完成します。

$h(x) = -\frac{3}{2}(x^2 - 4x) - 2$

$h(x) = -\frac{3}{2}(x^2 - 4x + 4 - 4) - 2$

$h(x) = -\frac{3}{2}((x-2)^2 - 4) - 2$

$h(x) = -\frac{3}{2}(x-2)^2 + 6 - 2$

$h(x) = -\frac{3}{2}(x-2)^2 + 4$

$h(x)$ は上に凸な放物線なので、頂点で最大値を持ちます。頂点は $(2, 4)$ なので、$h(x)$ が最大となるのは $x = 2$ のときです。

3. 最終的な答え

$g(x) - f(x)$ が最大となるときの $x$ の値は $2$ です。