$a > 0$ のとき、$\sqrt{a} \times \sqrt[3]{a} = a$ を満たす数を求める。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、$\sqrt{a} \times \sqrt[3]{a} = a$ を満たす数を求める。

2. 解き方の手順

まず、根号を指数で表します。

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$

よって、与えられた式は、

$a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{3}} = a$

となります。

左辺の指数法則を用いてまとめます。

$a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a$

指数の部分を計算します。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

したがって、

$a^{\frac{5}{6}} = a$

ここで、右辺の $a$ は $a^1$ と考えることができます。

$a^{\frac{5}{6}} = a^1$

両辺の指数を比較します。

$\frac{5}{6} = 1$

この式は、$a$ が $1$ の時のみ成り立ちます。なぜなら$a$ が $1$ でない時、$a^x = a^y$ が成り立つためには、$x = y$でなければならないからです。しかし、$\frac{5}{6} \ne 1$なので、$a=1$の場合を検討する必要があります。

$a=1$のとき、与式は$\sqrt{1} \times \sqrt[3]{1} = 1 \times 1 = 1$となり、与式を満たします。

しかし問題文をよく見ると、空欄に当てはまる「数」を求めると書いてあります。そして、数式は$\sqrt{a} \times \sqrt[3]{a} = a$です。これは $a$ に当てはまる数を求める問題ではなく、 $\sqrt{a} \times \sqrt[3]{a} = a$がどのような時に成り立つかを求める問題です。

したがって、$a^{\frac{5}{6}} = a^1$ から $a$ を求めるために両辺を$\frac{6}{5}$乗する事はできません。

両辺を $a$ で割ると $a$ が 0 になる可能性があるので、良くありません。

$a^{\frac{5}{6}} = a^1$

両辺を6乗すると、

$(a^{\frac{5}{6}})^6 = (a^1)^6$

$a^5 = a^6$

$a^6 - a^5 = 0$

$a^5 (a - 1) = 0$

$a > 0$ より、$a^5 = 0$ となることはないので、$a - 1 = 0$

$a = 1$

3. 最終的な答え

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