## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた2次関数の最大値と最小値を、指定された定義域内で求めます。

(1) $y = x^2 - 2x + 3$ ($0 \le x \le 3$)

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($1 \le x \le 4$)

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$)

(4) $y = -2x^2 + 14x$ ($0 \le x \le 7$)

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2. 解き方の手順

各2次関数について、以下の手順で最大値と最小値を求めます。

1. **平方完成:** 2次関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。

2. **グラフの概形:** グラフの概形を把握し、頂点が定義域に含まれるか確認します。

3. **定義域の端点:** 定義域の端点における関数の値を求めます。

4. **最大値と最小値の決定:** 頂点のy座標と端点の関数の値を比較し、最大値と最小値を決定します。

**(1) $y = x^2 - 2x + 3$ ($0 \le x \le 3$)**

1. 平方完成:

$y = (x - 1)^2 + 2$

頂点は $(1, 2)$

2. グラフの概形: 下に凸な放物線。頂点は定義域に含まれる。

3. 定義域の端点:

$x = 0$ のとき、 $y = 0^2 - 2(0) + 3 = 3$

$x = 3$ のとき、 $y = 3^2 - 2(3) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6$

4. 最大値と最小値の決定:

頂点のy座標は $2$

$x = 0$ のとき $y = 3$

$x = 3$ のとき $y = 6$

よって、

最大値は $6$ ($x = 3$ のとき)

最小値は $2$ ($x = 1$ のとき)

**(2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($1 \le x \le 4$)**

1. 平方完成:

$y = -(x - 2)^2 + 1$

頂点は $(2, 1)$

2. グラフの概形: 上に凸な放物線。頂点は定義域に含まれる。

3. 定義域の端点:

$x = 1$ のとき、 $y = -1^2 + 4(1) - 3 = -1 + 4 - 3 = 0$

$x = 4$ のとき、 $y = -4^2 + 4(4) - 3 = -16 + 16 - 3 = -3$

4. 最大値と最小値の決定:

頂点のy座標は $1$

$x = 1$ のとき $y = 0$

$x = 4$ のとき $y = -3$

よって、

最大値は $1$ ($x = 2$ のとき)

最小値は $-3$ ($x = 4$ のとき)

**(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$)**

1. 平方完成:

$y = 3(x + 1)^2 - 4$

頂点は $(-1, -4)$

2. グラフの概形: 下に凸な放物線。頂点は定義域に含まれない。

3. 定義域の端点:

$x = 1$ のとき、 $y = 3(1)^2 + 6(1) - 1 = 3 + 6 - 1 = 8$

$x = 3$ のとき、 $y = 3(3)^2 + 6(3) - 1 = 27 + 18 - 1 = 44$

4. 最大値と最小値の決定:

頂点は定義域に含まれないので、端点のみを比較。

$x = 1$ のとき $y = 8$

$x = 3$ のとき $y = 44$

よって、

最大値は $44$ ($x = 3$ のとき)

最小値は $8$ ($x = 1$ のとき)

**(4) $y = -2x^2 + 14x$ ($0 \le x \le 7$)**

1. 平方完成:

$y = -2(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{2}$

頂点は $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

2. グラフの概形: 上に凸な放物線。頂点は定義域に含まれる。

3. 定義域の端点:

$x = 0$ のとき、 $y = -2(0)^2 + 14(0) = 0$

$x = 7$ のとき、 $y = -2(7)^2 + 14(7) = -98 + 98 = 0$

4. 最大値と最小値の決定:

頂点のy座標は $\frac{49}{2}$

$x = 0$ のとき $y = 0$

$x = 7$ のとき $y = 0$

よって、

最大値は $\frac{49}{2}$ ($x = \frac{7}{2}$ のとき)

最小値は $0$ ($x = 0, 7$ のとき)

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3. 最終的な答え

(1) 最大値: $6$ ($x = 3$のとき), 最小値: $2$ ($x = 1$のとき)

(2) 最大値: $1$ ($x = 2$のとき), 最小値: $-3$ ($x = 4$のとき)

(3) 最大値: $44$ ($x = 3$のとき), 最小値: $8$ ($x = 1$のとき)

(4) 最大値: $\frac{49}{2}$ ($x = \frac{7}{2}$のとき), 最小値: $0$ ($x = 0, 7$のとき)