放物線 $C: y = \frac{9}{4}x^2 + ax + b$ が、2点 $(0, 4)$ と $(2, k)$ を通るとき、 $a$ と $b$ の値を求め、さらに $C$ の軸の方程式が $x = \frac{4}{3}$ のときの $k$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = \frac{9}{4}x^2 + ax + b$ が、2点 $(0, 4)$ と $(2, k)$ を通るとき、 $a$ と $b$ の値を求め、さらに $C$ の軸の方程式が $x = \frac{4}{3}$ のときの $k$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{9}{4}x^2 + ax + b$ が $(0, 4)$ を通るので、

$4 = \frac{9}{4}(0)^2 + a(0) + b$

$4 = b$

よって、$b = 4$

次に、$y = \frac{9}{4}x^2 + ax + 4$ が $(2, k)$ を通るので、

$k = \frac{9}{4}(2)^2 + a(2) + 4$

$k = \frac{9}{4}(4) + 2a + 4$

$k = 9 + 2a + 4$

$k = 13 + 2a$

$2a = k - 13$

$a = \frac{k - 13}{2}$

したがって、$a = \frac{k - 13}{2}$、 $b = 4$

さらに、放物線 $C: y = \frac{9}{4}x^2 + ax + 4$ の軸の方程式が $x = \frac{4}{3}$ なので、

$y = \frac{9}{4}x^2 + ax + 4 = \frac{9}{4}(x^2 + \frac{4a}{9}x) + 4 = \frac{9}{4}(x + \frac{2a}{9})^2 - \frac{9}{4}(\frac{2a}{9})^2 + 4$

よって、軸の方程式は $x = -\frac{2a}{9}$

$-\frac{2a}{9} = \frac{4}{3}$

$-2a = 12$

$a = -6$

$a = \frac{k - 13}{2}$ より

$-6 = \frac{k - 13}{2}$

$-12 = k - 13$

$k = 13 - 12$

$k = 1$

3. 最終的な答え

$a = \frac{k - 13}{2}$

$b = 4$

$k = 1$

アイ：13

ウ：2

エ：4

オ：1