次の不等式を解きます。 $0.2^{x-2} < \frac{1}{5\sqrt[3]{5}}$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

$0.2^{x-2} < \frac{1}{5\sqrt[3]{5}}$

2. 解き方の手順

まず、不等式の右辺を整理します。

$\frac{1}{5\sqrt[3]{5}} = \frac{1}{5 \cdot 5^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{5^{\frac{4}{3}}} = 5^{-\frac{4}{3}}$

次に、不等式の左辺を整理します。$0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ であるので、

$0.2^{x-2} = (5^{-1})^{x-2} = 5^{-(x-2)} = 5^{-x+2}$

したがって、不等式は次のようになります。

$5^{-x+2} < 5^{-\frac{4}{3}}$

底が5で1より大きいので、指数部分の大小関係は不等号の向きと一致します。

$-x+2 < -\frac{4}{3}$

両辺に$-1$をかけます。このとき不等号の向きが変わります。

$x-2 > \frac{4}{3}$

両辺に2を足します。

$x > \frac{4}{3} + 2 = \frac{4}{3} + \frac{6}{3} = \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

$x > \frac{10}{3}$