$q$を0でない実数とするとき、2つの2次方程式$x^2 - 3qx - 6q = 0$と$qx^2 - x + 2q = 0$が共通の実数解を持つような$q$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$q$を0でない実数とするとき、2つの2次方程式$x^2 - 3qx - 6q = 0$と$qx^2 - x + 2q = 0$が共通の実数解を持つような$q$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

共通の実数解を$\alpha$とします。すると、$\alpha$は以下の2つの式を満たします。

$\alpha^2 - 3q\alpha - 6q = 0$ (1)

$q\alpha^2 - \alpha + 2q = 0$ (2)

(2)式を$q$倍すると

$q^2\alpha^2 - q\alpha + 2q^2 = 0$

(1)式に$q$を掛けると、$q\alpha^2 - 3q^2\alpha - 6q^2 = 0$

これと(2)式から$\alpha^2$を消去することを考えます。(1)式の$q$倍から(2)式を引くと、

$q\alpha^2 - 3q^2\alpha - 6q^2 - (q\alpha^2 - \alpha + 2q) = 0$

$-3q^2\alpha + \alpha - 6q^2 - 2q = 0$

$\alpha (1 - 3q^2) = 6q^2 + 2q$

$\alpha = \frac{6q^2 + 2q}{1 - 3q^2}$ (3)

(1)式に(3)を代入します。

$(\frac{6q^2 + 2q}{1 - 3q^2})^2 - 3q(\frac{6q^2 + 2q}{1 - 3q^2}) - 6q = 0$

$q \neq 0$なので、qで割ると

$\frac{(6q+2)^2}{(1-3q^2)^2} - 3\frac{6q^2 + 2q}{1 - 3q^2} - 6 = 0$

ここで、共通解を求める別の方法を考えます。

(1)式を$q$倍すると、$q\alpha^2 - 3q^2 \alpha - 6q^2 = 0$

(2)式を3$q$倍すると、$3q^2 \alpha^2 - 3q\alpha + 6q^2 = 0$

(1)と(2)から$\alpha^2$を消去する別の方法を考えます。

(1) - (2) $\times \alpha$ を計算

$\alpha^2 - 3q\alpha - 6q - (q\alpha^2 - \alpha + 2q)\alpha=0$

$\alpha^2 - 3q\alpha - 6q - q\alpha^3 + \alpha^2 - 2q\alpha = 0$

$-q\alpha^3 + 2\alpha^2 - (3q+2q)\alpha - 6q = 0$

$-q\alpha^3 + 2\alpha^2 - 5q\alpha - 6q = 0$

(1)式より $\alpha^2 = 3q\alpha+6q$だから、

$-q\alpha(3q\alpha + 6q) + 2(3q\alpha + 6q) - 5q\alpha - 6q = 0$

$-3q^2\alpha^2 - 6q^2\alpha + 6q\alpha + 12q - 5q\alpha - 6q = 0$

$-3q^2(3q\alpha + 6q) - 6q^2\alpha + q\alpha + 6q = 0$

$-9q^3\alpha - 18q^3 - 6q^2\alpha + q\alpha + 6q = 0$

$\alpha(-9q^3 - 6q^2 + q) = 18q^3 - 6q$

$\alpha q(-9q^2 - 6q + 1) = 6q(3q^2 - 1)$

$\alpha = \frac{6(3q^2 - 1)}{-9q^2 - 6q + 1}$

(1)式に代入して、

$(\frac{6(3q^2 - 1)}{-9q^2 - 6q + 1})^2 - 3q \frac{6(3q^2 - 1)}{-9q^2 - 6q + 1} - 6q = 0$

整理すると、$q = 1/3$

(1)式と(2)式を連立して解く

(1)式を$q$倍すると、$q x^2 - 3q^2 x - 6q^2 = 0$

(2)式から(1)式を引くと、

$(q x^2 - x + 2q) - (x^2 - 3q x - 6q) = 0$

$(q-1)x^2 + (3q-1)x + 8q = 0$

$q=1$ の場合、$2x+8=0$, $x = -4$

(1) $x^2-3x-6 = 0$ , $16+12-6 = 22 \neq 0$

$q \neq 1$ の場合

$x^2 - 3qx - 6q = 0$ (1)

$qx^2 - x + 2q = 0$ (2)

(1) - q*(2)

$(1-q^2) x^2 + (q - 3q^2) x - 8q^2 = 0$

もし $\alpha= 2$ なら

$4 - 6q - 6q = 0, 12q = 4, q=1/3$

$4/3 - 2 + 2/3 = 6/3 - 2 = 2-2=0$

3. 最終的な答え

$q = \frac{1}{3}$