与えられたグラフと条件から、以下の3つの問題を解く。 (1) 反比例のグラフ $y = \frac{a}{x}$ の定数 $a$ の値を求める。 (2) 点Pのx座標が3であるとき、三角形APQの面積を求める。 (3) 点Pのx座標が2であるとき、三角形BPQの面積が三角形APQの面積の2倍となるような点Bの座標を求め、三角形OPBの面積を求める。ただし、点Bのx座標は2より小さいとする。

1. 問題の内容

与えられたグラフと条件から、以下の3つの問題を解く。

(1) 反比例のグラフ $y = \frac{a}{x}$ の定数 $a$ の値を求める。

(2) 点Pのx座標が3であるとき、三角形APQの面積を求める。

(3) 点Pのx座標が2であるとき、三角形BPQの面積が三角形APQの面積の2倍となるような点Bの座標を求め、三角形OPBの面積を求める。ただし、点Bのx座標は2より小さいとする。

2. 解き方の手順

(1)

* 点Aは、$y = \frac{a}{x}$ と $y = \frac{1}{2}x$ の交点であり、x座標が6である。

* $y = \frac{1}{2}x$ に $x=6$ を代入すると、$y = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ より、点Aの座標は $(6, 3)$ となる。

* 点Aは $y = \frac{a}{x}$ 上の点でもあるので、$(6, 3)$ を代入すると、$3 = \frac{a}{6}$ となる。

* これを解くと、$a = 3 \times 6 = 18$ となる。

(2)

* 点Pのx座標は3であるので、$y = \frac{18}{x}$ に $x=3$ を代入すると、$y = \frac{18}{3} = 6$ より、点Pの座標は $(3, 6)$ となる。

* 点Qは、点Pとx座標が同じであり、$y = \frac{1}{2}x$ 上の点なので、$y = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}$ より、点Qの座標は $(3, \frac{3}{2})$ となる。

* 点Aの座標は $(6, 3)$ である。

* 三角形APQの面積は、底辺をPQとすると、高さは点Aのx座標と点P,Qのx座標の差となる。

* $PQ = 6 - \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

* 高さは $6-3=3$

* 三角形APQの面積 $= \frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{4}$

(3)

* 点Pのx座標は2であるので、$y = \frac{18}{x}$ に $x=2$ を代入すると、$y = \frac{18}{2} = 9$ より、点Pの座標は $(2, 9)$ となる。

* 点Qは、点Pとx座標が同じであり、$y = \frac{1}{2}x$ 上の点なので、$y = \frac{1}{2} \times 2 = 1$ より、点Qの座標は $(2, 1)$ となる。

* 点Aの座標は $(6, 3)$ である。

* 三角形APQの面積は、底辺をPQとすると、高さは点Aのx座標と点P,Qのx座標の差となる。

* $PQ = 9-1=8$

* 高さは $6-2=4$

* 三角形APQの面積 $= \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$

* 三角形BPQの面積は三角形APQの面積の2倍なので、$16 \times 2 = 32$

* 点Bのx座標を $b$ とすると、点Bの座標は $(b, 0)$ となる。

* 三角形BPQの面積 $= \frac{1}{2} \times |b-2| \times 8 = 32$

* $|b-2| = \frac{32 \times 2}{8} = 8$

* $b-2 = 8$ または $b-2 = -8$

* $b = 10$ または $b = -6$

* ただし、点Bのx座標は2より小さいので、$b = -6$

* 点Bの座標は $(-6, 0)$ となる。

* 三角形OPBの面積 $= \frac{1}{2} \times |-6| \times 0 = \frac{1}{2} \times 6 \times 0 = 0$ (y座標が0のため、面積も0)

3. 最終的な答え

(1) $a = 18$

(2) $\frac{27}{4}$

(3) $0$