階差数列を利用して、与えられた数列の一般項を求める問題です。今回は(2)の数列、5, 7, 11, 19, 35, ... の一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

階差数列を利用して、与えられた数列の一般項を求める問題です。今回は(2)の数列、5, 7, 11, 19, 35, ... の一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求めます。

階差数列は、各項の差を取ることで求められます。

元の数列を $\{a_n\}$ とし、階差数列を $\{b_n\}$ とすると、

$b_1 = a_2 - a_1 = 7 - 5 = 2$

$b_2 = a_3 - a_2 = 11 - 7 = 4$

$b_3 = a_4 - a_3 = 19 - 11 = 8$

$b_4 = a_5 - a_4 = 35 - 19 = 16$

したがって、階差数列は 2, 4, 8, 16, ... となります。

これは初項 2、公比 2 の等比数列なので、$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ と表せます。

次に、元の数列の一般項 $a_n$ を求めます。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 5 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$

等比数列の和の公式より、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2(2^{n-1} - 1) = 2^n - 2$

したがって、

$a_n = 5 + 2^n - 2 = 2^n + 3$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^1 + 3 = 5$ となり、数列の初項と一致します。

したがって、すべての $n$ に対して $a_n = 2^n + 3$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^n + 3$