$q$ を 0 でない実数とする。2つの2次方程式 $x^2 - 3qx - 6q = 0$ と $qx^2 - x + 2q = 0$ が共通の実数解を持つとき、$q$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$q$ を 0 でない実数とする。2つの2次方程式 $x^2 - 3qx - 6q = 0$ と $qx^2 - x + 2q = 0$ が共通の実数解を持つとき、$q$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

共通の実数解を $\alpha$ とすると、次の2つの式が成り立つ。

\begin{align*}

\alpha^2 - 3q\alpha - 6q &= 0 \qquad \cdots (1)\\

q\alpha^2 - \alpha + 2q &= 0 \qquad \cdots (2)

\end{align*}

(1) $\times q$ - (2) より、

\begin{align*}

q\alpha^2 - 3q^2\alpha - 6q^2 - (q\alpha^2 - \alpha + 2q) &= 0 \\

-3q^2\alpha + \alpha - 6q^2 - 2q &= 0 \\

\alpha(1 - 3q^2) - 2q(3q + 1) &= 0 \\

\alpha(1 - 3q^2) &= 2q(3q + 1)

\end{align*}

したがって、

\begin{equation}

\alpha = \frac{2q(3q + 1)}{1 - 3q^2} \qquad \cdots (3)

\end{equation}

(1) $\times 1$ - (2) $\times 3q$ より、

\begin{align*}

\alpha^2 - 3q\alpha - 6q - (3q^2\alpha^2 - 3q\alpha + 6q^2) &= 0 \\

(1 - 3q^2)\alpha^2 - 6q - 6q^2 &= 0 \\

(1 - 3q^2)\alpha^2 &= 6q(q + 1)

\end{align*}

したがって、

\begin{equation}

\alpha^2 = \frac{6q(q + 1)}{1 - 3q^2} \qquad \cdots (4)

\end{equation}

(3)を(4)に代入すると、

\begin{align*}

\left(\frac{2q(3q + 1)}{1 - 3q^2}\right)^2 &= \frac{6q(q + 1)}{1 - 3q^2} \\

\frac{4q^2(3q + 1)^2}{(1 - 3q^2)^2} &= \frac{6q(q + 1)}{1 - 3q^2}

\end{align*}

$q \neq 0$ より、$q$ で割って

\begin{align*}

\frac{4q(3q + 1)^2}{(1 - 3q^2)^2} &= \frac{6(q + 1)}{1 - 3q^2} \\

4q(3q + 1)^2 &= 6(q + 1)(1 - 3q^2) \\

4q(9q^2 + 6q + 1) &= 6(q + 1 - 3q^3 - 3q^2) \\

36q^3 + 24q^2 + 4q &= 6q + 6 - 18q^3 - 18q^2 \\

54q^3 + 42q^2 - 2q - 6 &= 0 \\

27q^3 + 21q^2 - q - 3 &= 0

\end{align*}

ここで、$q = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$27 \cdot \frac{1}{27} + 21 \cdot \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 3 = 1 + \frac{7}{3} - \frac{1}{3} - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$

したがって、$q = \frac{1}{3}$ は解である。

$27q^3 + 21q^2 - q - 3 = (3q - 1)(9q^2 + 10q + 3) = 0$

$9q^2 + 10q + 3 = 0$ の判別式 $D = 100 - 4 \cdot 9 \cdot 3 = 100 - 108 = -8 < 0$ より、実数解を持たない。

したがって、$q = \frac{1}{3}$ のみが解である。

3. 最終的な答え

$q = \frac{1}{3}$