$q$ は $0$ でない実数とし、2つの2次方程式 $x^2 - 3qx - 6q = 0$ と $qx^2 - x + 2q = 0$ が共通の実数解をもつとき、$q$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$q$ は $0$ でない実数とし、2つの2次方程式 $x^2 - 3qx - 6q = 0$ と $qx^2 - x + 2q = 0$ が共通の実数解をもつとき、$q$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

共通の実数解を $\alpha$ とおくと、以下の2つの式が成り立ちます。

$\alpha^2 - 3q\alpha - 6q = 0$ ...(1)

$q\alpha^2 - \alpha + 2q = 0$ ...(2)

(1)より $\alpha^2 = 3q\alpha + 6q$ であるので、これを(2)に代入します。

$q(3q\alpha + 6q) - \alpha + 2q = 0$

$3q^2\alpha + 6q^2 - \alpha + 2q = 0$

$(3q^2 - 1)\alpha = -6q^2 - 2q$

$\alpha = \frac{-6q^2 - 2q}{3q^2 - 1} = \frac{-2q(3q+1)}{3q^2 - 1}$ ...(3)

(3)を(1)に代入します。

$(\frac{-2q(3q+1)}{3q^2 - 1})^2 - 3q(\frac{-2q(3q+1)}{3q^2 - 1}) - 6q = 0$

$\frac{4q^2(3q+1)^2}{(3q^2 - 1)^2} + \frac{6q^2(3q+1)}{3q^2 - 1} - 6q = 0$

$q \neq 0$ なので、$q$ で割って

$\frac{4q(3q+1)^2}{(3q^2 - 1)^2} + \frac{6q(3q+1)}{3q^2 - 1} - 6 = 0$

$\frac{4q(9q^2 + 6q + 1)}{(3q^2 - 1)^2} + \frac{6q(3q+1)}{3q^2 - 1} - 6 = 0$

$\frac{36q^3+24q^2+4q}{(3q^2 - 1)^2} + \frac{6q(3q+1)(3q^2-1)}{(3q^2 - 1)^2} - \frac{6(3q^2 - 1)^2}{(3q^2 - 1)^2} = 0$

$36q^3+24q^2+4q + 6q(9q^3+3q^2-3q-1) - 6(9q^4-6q^2+1) = 0$

$36q^3+24q^2+4q + 54q^4+18q^3-18q^2-6q - 54q^4+36q^2-6 = 0$

$54q^3+42q^2-2q-6 = 0$

$27q^3+21q^2-q-3 = 0$

$(q+1)(27q^2-6q-3) = 0$

$3(q+1)(9q^2-2q-1) = 0$

$q = -1$ または $9q^2-2q-1 = 0$

$q = -1$ または $q = \frac{2 \pm \sqrt{4+36}}{18} = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{18} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{18} = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{9}$

$q \neq \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$である必要があります。

$q = -1$ のとき $\alpha = \frac{-2(-1)(-3+1)}{3-1} = \frac{-4}{2} = -2$

$\alpha = -2$ を (1) に代入すると、$4 + 6 - 6(-1) = 4 + 6 + 6 = 16 \neq 0$. これは不適

もしも$\alpha=1$だと仮定すると,

$1-3q-6q=0$ より $9q=1$ なので $q=1/9$。

$q(1)-1+2q=0$ より $3q=1$ なので $q=1/3$。よって、共通解は1ではない。

$9q^2 - 2q - 1 = 0$ のとき, $q = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{9}$.

もし $q = \frac{1 + \sqrt{10}}{9}$ なら $q \neq 0$ なので適する。

3. 最終的な答え

$q = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{9}$