$0 \le x \le 2$ における関数 $f(x) = x^2 - ax + a^2$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2$ における関数 $f(x) = x^2 - ax + a^2$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - ax + a^2 = (x - \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 + a^2 = (x - \frac{a}{2})^2 + \frac{3}{4}a^2$

このグラフは軸が $x = \frac{a}{2}$ の下に凸な放物線です。定義域が $0 \le x \le 2$ であることに注意して、軸の位置によって場合分けを行います。

(i) $\frac{a}{2} < 0$、つまり $a < 0$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ において、$f(x)$ は単調増加なので、$x=0$ で最小値をとります。

最小値は $f(0) = 0^2 - a(0) + a^2 = a^2$

(ii) $0 \le \frac{a}{2} \le 2$、つまり $0 \le a \le 4$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ に軸 $x = \frac{a}{2}$ が含まれるので、$x = \frac{a}{2}$ で最小値をとります。

最小値は $f(\frac{a}{2}) = (\frac{a}{2})^2 - a(\frac{a}{2}) + a^2 = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} + a^2 = \frac{3}{4}a^2$

(iii) $\frac{a}{2} > 2$、つまり $a > 4$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ において、$f(x)$ は単調減少なので、$x=2$ で最小値をとります。

最小値は $f(2) = 2^2 - a(2) + a^2 = a^2 - 2a + 4$

まとめると、

(i) $a < 0$ のとき、最小値は $a^2$

(ii) $0 \le a \le 4$ のとき、最小値は $\frac{3}{4}a^2$

(iii) $a > 4$ のとき、最小値は $a^2 - 2a + 4$

3. 最終的な答え

$a<0$ のとき、最小値は $a^2$

$0 \le a \le 4$ のとき、最小値は $\frac{3}{4}a^2$

$a>4$ のとき、最小値は $a^2 - 2a + 4$