与えられた数列の一般項 $a_n$ を階差数列を利用して求める問題です。今回は(1)の数列 $1, 5, 13, 25, 41, \dots$ について解きます。

1. 問題の内容

与えられた数列の一般項 $a_n$ を階差数列を利用して求める問題です。今回は(1)の数列 $1, 5, 13, 25, 41, \dots$ について解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求めます。階差数列とは、隣り合う項の差を並べた数列のことです。

$b_n = a_{n+1} - a_n$

この数列の階差数列は $4, 8, 12, 16, \dots$ となります。

さらに、この階差数列は等差数列であることがわかります。

$c_n = b_{n+1} - b_n$ とすると、$c_n = 4, 4, 4, \dots$ となります。

したがって、階差数列 $b_n$ は初項が $4$、公差が $4$ の等差数列なので、

$b_n = 4 + (n-1) \cdot 4 = 4n$

数列 $a_n$ の一般項を求めます。

$n \geq 2$ のとき、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ で与えられます。

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4k$

$= 1 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} k$

$= 1 + 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

$= 1 + 2(n-1)n$

$= 1 + 2n^2 - 2n$

$= 2n^2 - 2n + 1$

この式は $n = 1$ のときも成立します ($a_1 = 2(1)^2 - 2(1) + 1 = 1$)。

したがって、一般項は $a_n = 2n^2 - 2n + 1$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n^2 - 2n + 1$