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与えられた5x5行列の行列式を計算します。 行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} $ ## 解き方の手順 1. 第1行で展開します。 $ \begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 4 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{1+4} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 \end{vmatrix} $

代数学行列式行列線形代数
2025/7/4
## 問題 (7)

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算します。
行列は次の通りです。
\begin{vmatrix}
4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
2 & -3 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -2 & 3 \\
0 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 0 & 2
\end{vmatrix}
## 解き方の手順

1. 第1行で展開します。

\begin{vmatrix}
4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
2 & -3 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -2 & 3 \\
0 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 0 & 2
\end{vmatrix} = 4 \cdot \begin{vmatrix}
-3 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -2 & 3 \\
3 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 & 2
\end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{1+4} \cdot \begin{vmatrix}
2 & -3 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 3 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 2
\end{vmatrix}

2. 最初の4x4行列を第1行で展開します。

\begin{vmatrix}
-3 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -2 & 3 \\
3 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 & 2
\end{vmatrix} = -3 \cdot \begin{vmatrix}
0 & -2 & 3 \\
2 & 0 & 0 \\
4 & 0 & 2
\end{vmatrix}

3. 3x3行列を第2行で展開します。

\begin{vmatrix}
0 & -2 & 3 \\
2 & 0 & 0 \\
4 & 0 & 2
\end{vmatrix} = 2 \cdot (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix}
-2 & 3 \\
0 & 2
\end{vmatrix} = -2(-4-0) = 8

4. 最初の4x4行列は$-3 \cdot 8 = -24$となります。よって最初の項は $4(-24) = -96$です。

5. 2番目の4x4行列を第1行で展開します。

\begin{vmatrix}
2 & -3 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 3 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 2
\end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix}
0 & 0 & 3 \\
3 & 2 & 0 \\
0 & 4 & 2
\end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix}
1 & 0 & 3 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 4 & 2
\end{vmatrix}

6. 各3x3行列を計算します。

\begin{vmatrix}
0 & 0 & 3 \\
3 & 2 & 0 \\
0 & 4 & 2
\end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix}
3 & 2 \\
0 & 4
\end{vmatrix} = 3(12-0) = 36
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 3 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 4 & 2
\end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 0 \\
4 & 2
\end{vmatrix} = 1(4-0) = 4

7. 4x4行列は $2(36) + 3(4) = 72 + 12 = 84$となります。よって2番目の項は $-1(84) = -84$です。

8. 行列式は $-96 - 84 = -180$となります。

## 最終的な答え
-180

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