与えられた2x2行列 A, B に対して、固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ (ただし $\lambda_1 \le \lambda_2$) を求め、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求め、空欄を埋めます。

1. 問題の内容

与えられた2x2行列 A, B に対して、固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ (ただし $\lambda_1 \le \lambda_2$) を求め、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求め、空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列 A = $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める。

まず、固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 4-\lambda & -1 \\ 2 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)(1-\lambda) - (-1)(2) = \lambda^2 - 5\lambda + 4 + 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3$ （ただし $\lambda_1 \le \lambda_2$）。

$\lambda_1 = 2$ に対応する固有ベクトル $x_1$ を求める。

$(A - \lambda_1 I)x_1 = 0$ より

$\begin{pmatrix} 4-2 & -1 \\ 2 & 1-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x - y = 0$ より $y = 2x$. よって $x_1 = a\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ （ただし $a \ne 0$）。

$\lambda_2 = 3$ に対応する固有ベクトル $x_2$ を求める。

$(A - \lambda_2 I)x_2 = 0$ より

$\begin{pmatrix} 4-3 & -1 \\ 2 & 1-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x - y = 0$ より $x = y$. よって $x_2 = b\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ （ただし $b \ne 0$）。

(2) 行列 B = $\begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める。

まず、固有方程式 $|B - \lambda I| = 0$ を解きます。

$|B - \lambda I| = \begin{vmatrix} 6-\lambda & 4 \\ -1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (6-\lambda)(2-\lambda) - (4)(-1) = \lambda^2 - 8\lambda + 12 + 4 = \lambda^2 - 8\lambda + 16 = (\lambda - 4)^2 = 0$

固有値は $\lambda_1 = \lambda_2 = 4$ (重解)。

$\lambda_1 = 4$ に対応する固有ベクトル $x$ を求める。

$(B - \lambda_1 I)x = 0$ より

$\begin{pmatrix} 6-4 & 4 \\ -1 & 2-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x + 4y = 0$ より $x = -2y$. よって $x = c\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ （ただし $c \ne 0$）。

3. 最終的な答え

(1) $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3$. $x_1 = a\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, x_2 = b\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

(2) $\lambda_1 = 4, \lambda_2 = 4$. $x = c\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$.