行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ が与えられています。それぞれを表す一次変換を $f$ と $g$ とします。 (1) 合成変換 $g \circ f$ を表す行列 $C$ と合成変換 $f \circ g$ を表す行列 $D$ を求めます。 (2) 合成変換 $g \circ f$ によって点 $P(1, 2)$ が移される点 $Q(q_1, q_2)$ と、合成変換 $f \circ g$ によって点 $P(1, 2)$ が移される点 $R(r_1, r_2)$ を求めます。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ が与えられています。それぞれを表す一次変換を $f$ と $g$ とします。

(1) 合成変換 $g \circ f$ を表す行列 $C$ と合成変換 $f \circ g$ を表す行列 $D$ を求めます。

(2) 合成変換 $g \circ f$ によって点 $P(1, 2)$ が移される点 $Q(q_1, q_2)$ と、合成変換 $f \circ g$ によって点 $P(1, 2)$ が移される点 $R(r_1, r_2)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

合成変換 $g \circ f$ は、まず $f$ で変換し、次に $g$ で変換することです。従って、行列 $C$ は行列 $B$ と行列 $A$ の積で計算できます。

$C = BA = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 0 + 1 \cdot 1 & 3 \cdot 1 + 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

合成変換 $f \circ g$ は、まず $g$ で変換し、次に $f$ で変換することです。従って、行列 $D$ は行列 $A$ と行列 $B$ の積で計算できます。

$D = AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 3 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 3 + 4 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 4 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 7 & 1 \end{pmatrix}$

(2)

点 $P(1, 2)$ を $g \circ f$ で変換した点 $Q(q_1, q_2)$ は、行列 $C$ と点 $P$ の座標の積で計算できます。

$\begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 7 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 2 \end{pmatrix}$

点 $P(1, 2)$ を $f \circ g$ で変換した点 $R(r_1, r_2)$ は、行列 $D$ と点 $P$ の座標の積で計算できます。

$\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 7 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \\ 7 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $C = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 7 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \end{pmatrix}$