和菓子と洋菓子を合わせて80個購入した。和菓子は8個入り、洋菓子は12個入りの箱に入っている。洋菓子の箱の数を求めるために、以下の情報ア、イのどちらが必要か、または両方必要か、またはどちらも必要ないかを判断する問題。 ア：洋菓子の箱の数のほうが和菓子の箱の数より多い イ：洋菓子の個数のほうが和菓子の個数より多い

1. 問題の内容

和菓子と洋菓子を合わせて80個購入した。和菓子は8個入り、洋菓子は12個入りの箱に入っている。洋菓子の箱の数を求めるために、以下の情報ア、イのどちらが必要か、または両方必要か、またはどちらも必要ないかを判断する問題。

ア：洋菓子の箱の数のほうが和菓子の箱の数より多い

イ：洋菓子の個数のほうが和菓子の個数より多い

2. 解き方の手順

まず、和菓子の箱の数を $x$ 、洋菓子の箱の数を $y$ とおく。

和菓子の個数は $8x$ 個、洋菓子の個数は $12y$ 個である。

合計の個数に関する式は次のようになる。

$8x + 12y = 80$

これを簡単にするために4で割ると、

$2x + 3y = 20$

この式を満たす整数 $x$ と $y$ を求める。

情報アは、$y > x$ を意味する。

情報イは、$12y > 8x$ を意味し、$3y > 2x$ と同値である。

$2x + 3y = 20$ の式から、$2x = 20 - 3y$ となる。これを情報イの式に代入すると、

$3y > 20 - 3y$

$6y > 20$

$y > \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3.33$

$y$ は整数なので、$y \ge 4$ である。

$2x + 3y = 20$ より、

$2x = 20 - 3y$

$x = 10 - \frac{3}{2}y$

$x$ も整数なので、$y$ は偶数でなければならない。

$y=2$のとき、$x = 10 - \frac{3}{2} \times 2 = 10 - 3 = 7$ 。このとき、$y < x$ となり、情報アを満たさない。

$y=4$のとき、$x = 10 - \frac{3}{2} \times 4 = 10 - 6 = 4$ 。このとき、$y = x$ となり、情報アを満たさない。

$y=6$のとき、$x = 10 - \frac{3}{2} \times 6 = 10 - 9 = 1$ 。このとき、$y > x$ となり、情報アを満たす。

したがって、$y=6$ , $x=1$ のとき、$8x+12y = 8 \times 1 + 12 \times 6 = 8 + 72 = 80$ を満たす。

情報アがないと、$y>x$ という条件がなくなるので、解が一意に定まらない。

情報イがないと、$3y > 2x$という条件がなくなるので、解が一意に定まらない。

つまり、アとイの両方の情報がないと解が一意に定まらない。

アとイの両方がある場合、$y > x$ と $3y > 2x$ の両方を満たす必要がある。

$2x + 3y = 20$ を満たす整数解は、$x=1, y=6$ と $x=4, y=4$ と $x=7, y=2$。

$y>x$ を満たすのは $x=1, y=6$ のみ。このとき、$3y = 18$ で $2x=2$ なので $3y>2x$ を満たす。

したがって、アとイの両方の情報があれば解が一意に定まる。

3. 最終的な答え

C