行列 $A$ とその余因子行列 $\tilde{A}$ の積 $A\tilde{A}$ の $(s, t)$ 成分 $x_{st}$ を、$A$ の成分 $a_{ij}$ とその余因子 $\Delta_{ij}$ を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

行列 $A$ とその余因子行列 $\tilde{A}$ の積 $A\tilde{A}$ の $(s, t)$ 成分 $x_{st}$ を、$A$ の成分 $a_{ij}$ とその余因子 $\Delta_{ij}$ を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

$A$ を $n \times n$ 行列とします。行列 $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ の $(i, j)$ 成分は、 $A$ の $(j, i)$ 成分の余因子 $\Delta_{ji}$ に一致します。

したがって、$\tilde{A}$ の $(i, j)$ 成分は $\Delta_{ji}$ です。

$A\tilde{A}$ の $(s, t)$ 成分 $x_{st}$ は、行列の積の定義から、以下のようになります。

$x_{st} = \sum_{k=1}^{n} a_{sk} \tilde{a}_{kt}$

ここで、$\tilde{a}_{kt}$ は余因子行列 $\tilde{A}$ の $(k, t)$ 成分なので、$\Delta_{tk}$ と置き換えることができます。

$x_{st} = \sum_{k=1}^{n} a_{sk} \Delta_{tk}$

$s=t$ のとき、$x_{st}$ は $A$ の行列式 $|A|$ に一致します。一方、$s \neq t$ のとき、$x_{st}$ は 0 になります。なぜならば、$x_{st}$ は $A$ の $s$ 行を $t$ 行で置き換えた行列の行列式に一致しますが、同じ行が2つあるため、行列式は 0 になります。

したがって、$x_{st}$ は $s=t$ のとき $|A|$ に等しく、$s \neq t$ のとき 0 になります。これは Kronecker のデルタ $\delta_{st}$ を用いて表すことができます。

$x_{st} = \sum_{k=1}^{n} a_{sk} \Delta_{tk} = |A| \delta_{st}$

しかし、問題文では、$|A|$ を用いることは許可されていません。したがって、$\sum_{k=1}^{n} a_{sk} \Delta_{tk}$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

$x_{st} = \sum_{k=1}^{n} a_{sk} \Delta_{tk}$