与えられた行列の行列式を計算する問題です。6つの行列式をそれぞれ計算する必要があります。

代数学行列式線形代数行列
2025/7/4

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を計算する問題です。6つの行列式をそれぞれ計算する必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の行列式
abcd=adbc \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
(2), (3) 3x3行列の行列式
サラスの公式または余因子展開を利用して計算します。
(4), (6) 4x4行列の行列式
余因子展開を利用して計算します。
(5) 上三角行列の行列式
対角成分の積で計算します。
(1)
22284964=(22)(64)(28)(49)=14081372=36 \begin{vmatrix} 22 & 28 \\ 49 & 64 \end{vmatrix} = (22)(64) - (28)(49) = 1408 - 1372 = 36
(2)
147258369=1(5986)4(2983)+7(2653)=1(4548)4(1824)+7(1215)=34(6)+7(3)=3+2421=0 \begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix} = 1(5\cdot9 - 8\cdot6) - 4(2\cdot9 - 8\cdot3) + 7(2\cdot6 - 5\cdot3) = 1(45 - 48) - 4(18 - 24) + 7(12 - 15) = -3 - 4(-6) + 7(-3) = -3 + 24 - 21 = 0
(3)
4131209876=4(0697)1(1269(8))+3(1270(8))=4(63)1(72+72)+3(84)=252144+252=144 \begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 12 & 0 & 9 \\ -8 & 7 & 6 \end{vmatrix} = 4(0\cdot6 - 9\cdot7) - 1(12\cdot6 - 9\cdot(-8)) + 3(12\cdot7 - 0\cdot(-8)) = 4(-63) - 1(72 + 72) + 3(84) = -252 - 144 + 252 = -144
(4)
0134401334011340 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 & 4 \\ 4 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix}
1行目で余因子展開すると、
=0C11+1(1)1+2413301140+3(1)1+3403341130+4(1)1+4401340134 = 0\cdot C_{11} + 1\cdot (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} + 3\cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & 0 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} + 4\cdot (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix}
=[4(04)1(01)+3(120)]+3[4(03)0+3(94)]4[4(160)0+1(94)] = -[4(0-4) - 1(0-1) + 3(12-0)] + 3[4(0-3) - 0 + 3(9-4)] - 4[4(16-0) - 0 + 1(9-4)]
=[16+1+36]+3[12+15]4[64+5]=21+3(3)4(69)=21+9276=288 = -[-16 + 1 + 36] + 3[-12 + 15] - 4[64 + 5] = -21 + 3(3) - 4(69) = -21 + 9 - 276 = -288
(5)
0003003005324567 \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{vmatrix}
1列目で余因子展開すると、
=4(1)4+1003030532=4[00+3(0(15))]=4[3(15)]=4(45)=180 = 4\cdot (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & -3 & 0 \\ 5 & 3 & 2 \end{vmatrix} = -4[0 - 0 + 3(0 - (-15))] = -4[3(15)] = -4(45) = -180
(6)
0200142070403512 \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & 2 & 0 \\ 7 & 0 & -4 & 0 \\ -3 & 5 & 1 & 2 \end{vmatrix}
4列目で余因子展開すると、
=2(1)4+4020142704=2[02((1)(4)2(7))+0]=2[2(414)]=2[2(10)]=2(20)=40 = 2\cdot (-1)^{4+4} \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 2 \\ 7 & 0 & -4 \end{vmatrix} = 2[0 - 2((-1)(-4) - 2(7)) + 0] = 2[-2(4 - 14)] = 2[-2(-10)] = 2(20) = 40

3. 最終的な答え

(1) 36
(2) 0
(3) -144
(4) -288
(5) -180
(6) 40

「代数学」の関連問題

行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pma...

線形代数行列一次変換合成変換
2025/7/4

与えられた5x5行列の行列式を計算します。行列は次の通りです。 $ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 &...

行列式線形代数
2025/7/4

与えられた5x5行列の行列式を計算します。 行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 ...

行列式行列線形代数
2025/7/4

$(x-2)(x-4) = x^2 + px + 8$ が成り立つとき、$p$ の値を求めよ。

二次方程式因数分解式の展開
2025/7/4

$2(a+b)+5(-a+2b) = pa+12b$ が成り立つとき、$p$ の値を求めます。

式の計算展開係数比較文字式
2025/7/4

与えられた連立方程式を解く問題です。具体的には、 $ \begin{cases} x + 2y = -4 \quad ...(1) \\ 2x + 3y = 4 \quad ...(2) \end...

連立方程式加減法一次方程式
2025/7/4

2つの数の和が20であり、大きい方の数から小さい方の数の2倍を引くと2になる。この2つの数を求めます。

連立方程式線形方程式文章題
2025/7/4

与えられた連立方程式を解き、空欄を埋める問題です。連立方程式は以下の通りです。 $3x + 2y = 11$...(1) $x - 2y = 9$...(2)

連立方程式一次方程式代入法計算
2025/7/4

与えられた命題A, B, C, Dの真偽を判定し、それらの関係を調べ、最後に条件 $x^2 - 5x + 6 = 0$ の否定を求める問題です。

命題真偽判定論理対偶否定二次方程式不等式
2025/7/4

与えられた2x2行列 A, B に対して、固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ (ただし $\lambda_1 \le \lambda_2$) を求め、それぞれの固有値に対応する固有ベ...

線形代数行列固有値固有ベクトル
2025/7/4