与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) $\det(A - tE) = 0$ を満たす実数 $t$ をすべて求めます。ただし、$E$ は単位行列です。 (2) (1) で求めた各 $t$ の値に対して、連立一次方程式 $(A - tE)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ の一般解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) $\det(A - tE) = 0$ を満たす実数 $t$ をすべて求めます。ただし、$E$ は単位行列です。

(2) (1) で求めた各 $t$ の値に対して、連立一次方程式 $(A - tE)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ の一般解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\det(A - tE) = 0$ を満たす $t$ を求める。

まず、$A - tE$ を計算します。

$A - tE = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix} - t \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5-t & -4 & -2 \\ 6 & -5-t & -2 \\ 3 & -3 & 2-t \end{bmatrix}$

次に、$\det(A - tE)$ を計算します。

\begin{align*} \det(A - tE) &= (5-t)((-5-t)(2-t) - (-2)(-3)) - (-4)(6(2-t) - (-2)(3)) + (-2)(6(-3) - (3)(-5-t)) \\ &= (5-t)((-10+5t-2t+t^2)-6) + 4(12-6t+6) - 2(-18+15+3t) \\ &= (5-t)(t^2+3t-16) + 4(18-6t) - 2(-3+3t) \\ &= 5t^2 + 15t - 80 - t^3 - 3t^2 + 16t + 72 - 24t + 6 - 6t \\ &= -t^3 + 2t^2 + t - 2\end{aligned}

したがって、$\det(A - tE) = -t^3 + 2t^2 + t - 2 = -(t^3 - 2t^2 - t + 2) = 0$

因数定理を用いると、

$t^3 - 2t^2 - t + 2 = t^2(t - 2) - (t - 2) = (t^2 - 1)(t - 2) = (t - 1)(t + 1)(t - 2) = 0$

よって、$t = 1, -1, 2$

(2) (1) で求めた $t$ の値に対して、$(A - tE)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ の一般解を求める。

$t = 1$ のとき、

$A - E = \begin{bmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 6 & -6 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 6 & -6 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

簡約化すると、$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x = y, z = 0$ となるので、一般解は $\mathbf{x} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$t = -1$ のとき、

$A + E = \begin{bmatrix} 6 & -4 & -2 \\ 6 & -4 & -2 \\ 3 & -3 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 6 & -4 & -2 \\ 6 & -4 & -2 \\ 3 & -3 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

簡約化すると、$\begin{bmatrix} 3 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x = 3z, y = 4z$ となるので、一般解は $\mathbf{x} = c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 3/4 \\ 1/3 \end{bmatrix}$　簡単にする為に　$\mathbf{x} = c_2 \begin{bmatrix} 3/3 \\ 4/3 \\ 1 \end{bmatrix}$ $\mathbf{x} = c_2 \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$

$t = 2$ のとき、

$A - 2E = \begin{bmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 6 & -7 & -2 \\ 3 & -3 & 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 6 & -7 & -2 \\ 3 & -3 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

簡約化すると、$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2/3 \\ 0 & 1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x = (2/3)z, y = (1/3)z$ となるので、一般解は $\mathbf{x} = c_3 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $t = 1, -1, 2$

(2)

$t = 1$ のとき、$\mathbf{x} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$t = -1$ のとき、$\mathbf{x} = c_2 \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$

$t = 2$ のとき、$\mathbf{x} = c_3 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

ここで、$c_1, c_2, c_3$ は任意定数。