6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ と $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) $\tau \sigma$ を求めよ。 (2) $\sigma^{-1}$ を求めよ。 (3) $\sigma$ を互換の積で表せ。 (4) $\mathrm{sgn}(\sigma)$ を求めよ。

1. 問題の内容

6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ と $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) $\tau \sigma$ を求めよ。

(2) $\sigma^{-1}$ を求めよ。

(3) $\sigma$ を互換の積で表せ。

(4) $\mathrm{sgn}(\sigma)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\tau \sigma$ を求める。$\sigma$ の結果を $\tau$ に適用します。

$\sigma: 1 \mapsto 2, 2 \mapsto 4, 3 \mapsto 5, 4 \mapsto 6, 5 \mapsto 1, 6 \mapsto 3$

$\tau: 1 \mapsto 6, 2 \mapsto 1, 3 \mapsto 5, 4 \mapsto 3, 5 \mapsto 4, 6 \mapsto 2$

したがって、

$\tau \sigma: 1 \mapsto \tau(2) = 1, 2 \mapsto \tau(4) = 3, 3 \mapsto \tau(5) = 4, 4 \mapsto \tau(6) = 2, 5 \mapsto \tau(1) = 6, 6 \mapsto \tau(3) = 5$

$\tau \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1}$ を求める。$\sigma$ の上下を入れ替えて、上の行を並び替えます。

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma$ を互換の積で表す。サイクル表記で表してから互換に分解します。

$\sigma = (1\ 2\ 4\ 6\ 3\ 5)$

$\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

(4) $\mathrm{sgn}(\sigma)$ を求める。$\sigma$ が互換の積で何個の互換で表されるかを確認します。互換の数が偶数なら $\mathrm{sgn}(\sigma)=1$、奇数なら $\mathrm{sgn}(\sigma)=-1$ です。

$\sigma$ は 5 個の互換の積で表されるので、$\mathrm{sgn}(\sigma) = (-1)^5 = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\tau \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

(4) $\mathrm{sgn}(\sigma) = -1$