次の連立一次方程式が自明な解以外を持つときの $k$ の値を求める問題です。 $ \begin{cases} x + 3y - z = 0 \\ x + 4y - 2z = 0 \\ kx + 7y - 3z = 0 \end{cases} $

1. 問題の内容

次の連立一次方程式が自明な解以外を持つときの $k$ の値を求める問題です。

$\begin{cases} x + 3y - z = 0 \\ x + 4y - 2z = 0 \\ kx + 7y - 3z = 0 \end{cases}$

2. 解き方の手順

この連立一次方程式が自明な解以外を持つための必要十分条件は、係数行列の行列式が0になることです。

係数行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & -2 \\ k & 7 & -3 \end{pmatrix}$

この行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & -2 \\ k & 7 & -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 7 & -3 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ k & -3 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ k & 7 \end{vmatrix}$

$= 1 \cdot (4 \cdot (-3) - (-2) \cdot 7) - 3 \cdot (1 \cdot (-3) - (-2) \cdot k) - 1 \cdot (1 \cdot 7 - 4 \cdot k)$

$= 1 \cdot (-12 + 14) - 3 \cdot (-3 + 2k) - 1 \cdot (7 - 4k)$

$= 2 - 3(-3 + 2k) - (7 - 4k)$

$= 2 + 9 - 6k - 7 + 4k$

$= 4 - 2k$

この行列式が0になる条件は、

$4 - 2k = 0$

$2k = 4$

$k = 2$

3. 最終的な答え

$k = 2$