与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の2つの問題を解きます。 1. 行列 $A$ を対角化すること。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の2つの問題を解きます。

1. 行列 $A$ を対角化すること。

2. $k$ を任意の自然数としたとき、$A^k$ を求めること（各成分の値を $k$ の式で表す）。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の対角化

* **固有値を求める:**

特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 1$ と $\lambda_2 = 3$ です。

* **固有ベクトルを求める:**

* $\lambda_1 = 1$ のとき:

$(A - \lambda_1 I) \mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + y = 0$ より、$y = -x$。固有ベクトル $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ を得ます。

* $\lambda_2 = 3$ のとき:

$(A - \lambda_2 I) \mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + y = 0$ より、$y = x$。固有ベクトル $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を得ます。

* **対角化:**

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ とすると、$P^{-1}AP = D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ となります。

(2) $A^k$ の計算

* $A = PDP^{-1}$ を利用します。$A^k = (PDP^{-1})^k = PD^kP^{-1}$ です。

* $D^k = \begin{pmatrix} 1^k & 0 \\ 0 & 3^k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3^k \end{pmatrix}$

* $P^{-1}$ を計算します。 $P^{-1} = \frac{1}{(1)(1) - (1)(-1)} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

* $A^k = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3^k \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 3^k \\ -1 & 3^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+3^k & -1+3^k \\ -1+3^k & 1+3^k \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A$ の対角化: $P^{-1}AP = D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $A^k$: $A^k = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+3^k & -1+3^k \\ -1+3^k & 1+3^k \end{pmatrix}$