数列 $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ が与えられており、以下の問いに答える問題です。 (1) 数列 $\{x_n + y_n\}$, $\{x_n - \frac{1}{2}y_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) 数列 $\{x_n\}$ の一般項を求めよ。 (3) $S_n = \sum_{k=1}^n y_k$ とするとき、$S_n$ を求めよ。 初期条件は $x_1 = 1, y_1 = 3$ であり、漸化式は $x_{n+1} = 3x_n + y_n$, $y_{n+1} = 2x_n + 4y_n$ (n=1,2,3,...) です。

1. 問題の内容

数列 $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ が与えられており、以下の問いに答える問題です。

(1) 数列 $\{x_n + y_n\}$, $\{x_n - \frac{1}{2}y_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 $\{x_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) $S_n = \sum_{k=1}^n y_k$ とするとき、$S_n$ を求めよ。

初期条件は $x_1 = 1, y_1 = 3$ であり、漸化式は $x_{n+1} = 3x_n + y_n$, $y_{n+1} = 2x_n + 4y_n$ (n=1,2,3,...) です。

2. 解き方の手順

(1) まず、数列 $\{x_n + y_n\}$ について考えます。漸化式は

$x_{n+1} + y_{n+1} = (3x_n + y_n) + (2x_n + 4y_n) = 5x_n + 5y_n = 5(x_n + y_n)$

となります。これは等比数列なので、初項 $x_1 + y_1 = 1 + 3 = 4$ より、

$x_n + y_n = 4 \cdot 5^{n-1}$

次に、数列 $\{x_n - \frac{1}{2}y_n\}$ について考えます。漸化式は

$x_{n+1} - \frac{1}{2}y_{n+1} = (3x_n + y_n) - \frac{1}{2}(2x_n + 4y_n) = 3x_n + y_n - x_n - 2y_n = 2x_n - y_n = 2(x_n - \frac{1}{2}y_n)$

となります。これは等比数列なので、初項 $x_1 - \frac{1}{2}y_1 = 1 - \frac{1}{2} \cdot 3 = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$ より、

$x_n - \frac{1}{2}y_n = -\frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} = -2^{n-2}$

(2) (1)の結果より、

$x_n + y_n = 4 \cdot 5^{n-1}$

$x_n - \frac{1}{2}y_n = -2^{n-2}$

上の式から下の式を引くと、

$\frac{3}{2}y_n = 4 \cdot 5^{n-1} + 2^{n-2}$

$y_n = \frac{2}{3}(4 \cdot 5^{n-1} + 2^{n-2})$

したがって、

$x_n = 4 \cdot 5^{n-1} - y_n = 4 \cdot 5^{n-1} - \frac{2}{3}(4 \cdot 5^{n-1} + 2^{n-2}) = \frac{12 \cdot 5^{n-1} - 8 \cdot 5^{n-1} - 2^{n-1}}{3} = \frac{4 \cdot 5^{n-1} - 2^{n-1}}{3}$

$x_n = \frac{1}{3}(4 \cdot 5^{n-1} - 2^{n-1})$

(3) $S_n = \sum_{k=1}^n y_k$ を求める。

$y_k = \frac{2}{3}(4 \cdot 5^{k-1} + 2^{k-2}) = \frac{8}{3} \cdot 5^{k-1} + \frac{2}{3} \cdot 2^{k-2} = \frac{8}{3} \cdot 5^{k-1} + \frac{1}{3} \cdot 2^{k-1}$

$S_n = \sum_{k=1}^n y_k = \sum_{k=1}^n \left( \frac{8}{3} \cdot 5^{k-1} + \frac{1}{3} \cdot 2^{k-1} \right)$

$= \frac{8}{3} \sum_{k=1}^n 5^{k-1} + \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n 2^{k-1}$

$= \frac{8}{3} \frac{5^n - 1}{5-1} + \frac{1}{3} \frac{2^n - 1}{2-1} = \frac{8}{3} \frac{5^n - 1}{4} + \frac{1}{3}(2^n - 1) = \frac{2}{3}(5^n - 1) + \frac{1}{3}(2^n - 1)$

$= \frac{2 \cdot 5^n - 2 + 2^n - 1}{3} = \frac{1}{3}(2 \cdot 5^n + 2^n - 3)$

3. 最終的な答え

(1) $x_n + y_n = 4 \cdot 5^{n-1}$, $x_n - \frac{1}{2}y_n = -2^{n-2}$

(2) $x_n = \frac{1}{3}(4 \cdot 5^{n-1} - 2^{n-1})$

(3) $S_n = \frac{1}{3}(2 \cdot 5^n + 2^n - 3)$