与えられた6つの行列の行列式を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの行列の行列式を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の行列式は、$ad-bc$で計算できます。

(2) 第3行は第2行と第1行の和になっているため、行列式は0です。

(3) 第1行を3倍すると第2行になるため、行列式は0です。

(4) 4x4行列の行列式を計算します。第1列に関して余因子展開をします。

(5) 第1行、第2行、第3行にそれぞれ0が2つあるので、第1列に関して余因子展開をすると、４行４列の行列計算になります。

(6) 第4列は全て0なので、行列式は0です。

それぞれの計算を以下に示します。

(1)

$\begin{vmatrix} 22 & 28 \\ 49 & 64 \end{vmatrix} = (22)(64) - (28)(49) = 1408 - 1372 = 36$

(2)

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix}$

第3行は第2行と第1行の和となっているため、行列式は0です。

(3)

$\begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 12 & 0 & 9 \\ -8 & 7 & 6 \end{vmatrix}$

第1行を3倍すると第2行になるため、行列式は0です。

(4)

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 & 4 \\ 4 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix}$

第1列に関して余因子展開をします。

$= 0 \cdot C_{11} + 4 \cdot C_{21} + 3 \cdot C_{31} + 1 \cdot C_{41}$

$C_{21} = (-1)^{2+1}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 4 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = - (1(0-4) - 3(0-3) + 4(16-0)) = -(-4 + 9 + 64) = -69$

$C_{31} = (-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 1(0-12) - 3(0-9) + 4(0-3) = -12 + 27 -12 = 3$

$C_{41} = (-1)^{4+1}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & 1 \end{vmatrix} = -(1(1-0) - 3(0-12) + 4(0-4)) = -(1 + 36 - 16) = -21$

したがって、行列式は$4(-69) + 3(3) + 1(-21) = -276 + 9 - 21 = -288$

(5)

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{vmatrix}$

第1列に関して余因子展開をします。

$= 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{21} + 0 \cdot C_{31} + 4 \cdot C_{41}$

$C_{41} = (-1)^{4+1}\begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & -3 & 0 \\ 5 & 3 & 2 \end{vmatrix} = - (0 - 0 + 3(0-(-15)) = - (45) = -45$

したがって、行列式は$4(-45) = -180$

(6)

$\begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & 2 & 0 \\ 7 & 0 & -4 & 0 \\ -3 & 5 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

第4列は全て0なので、行列式は0です。

3. 最終的な答え

(1) 36

(2) 0

(3) 0

(4) -288

(5) -180

(6) 0