与えられた9つの行列式を計算する問題です。ここでは、行列式(4), (5), (6), (7), (8), (9)を計算します。

1. 問題の内容

与えられた9つの行列式を計算する問題です。ここでは、行列式(4), (5), (6), (7), (8), (9)を計算します。

2. 解き方の手順

(4) の行列式

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 & 4 \\ 4 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix}$

1行目を基準に展開すると計算が複雑になるので、少し工夫します。4行目を1行目に足す、3行目を2行目に足す、2行目を3行目に足す、1行目を4行目に足すという操作を行っても行列式の値は変わりません。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 & 4 \\ 7 & 4 & 1 & 4 \\ 7 & 4 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 7 & 4 \end{vmatrix}$

2行目と3行目が同じなので、この行列式は0です。

(5) の行列式

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{vmatrix}$

1列目を基準に展開すると、

$4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & -3 & 0 \\ 5 & 3 & 2 \end{vmatrix}$

さらに1列目を基準に展開すると、

$4 \cdot 5 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = 4 \cdot 5 \cdot (0 - (-9)) = 4 \cdot 5 \cdot 9 = 180$

ただし、符号に注意する必要があります。

$(-1)^{(4+1)}$があるので、 $-180$が正しいです。

(6) の行列式

$\begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & 2 & 0 \\ 7 & 0 & -4 & 0 \\ -3 & 5 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

4列目を基準に展開すると、

$2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 2 \\ 7 & 0 & -4 \end{vmatrix}$

1行目を基準に展開すると、

$2 \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 7 & -4 \end{vmatrix} = 4 \cdot (4 - 14) = 4 \cdot (-10) = -40$

(7) の行列式

$\begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

1行目を基準に展開すると、

$4 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 \end{vmatrix}$

$4 \cdot (-3) \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \cdot (2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \end{vmatrix})$

$-12 \cdot (-2) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \cdot (2 \cdot (3 \cdot (-2) \cdot 2) + 3 \cdot (1 \cdot (2 \cdot 2))) = 24 \cdot (4 - 12) + (-1) \cdot (2 \cdot (-12) + 3 \cdot 4) = 24 \cdot (-8) + (-1) \cdot (-24 + 12) = -192 + 12 = -180$

(8) の行列式

$\begin{vmatrix} 101 & 99 & 98 \\ 101 & 100 & 102 \\ 102 & 97 & 100 \end{vmatrix}$

1列目から2列目を引く、2列目から3列目を引くと

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 98 \\ 1 & -2 & 102 \\ 5 & -3 & 100 \end{vmatrix}$

1行目から2行目を2倍引く

$\begin{vmatrix} 0 & 5 & -206 \\ 1 & -2 & 102 \\ 5 & -3 & 100 \end{vmatrix}$

2列目を基準に展開すると、

$-5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 102 \\ 5 & 100 \end{vmatrix} + (-2) \cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix} 0 & -206 \\ 5 & 100 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -206 \\ 1 & 102 \end{vmatrix} = -5(100 - 510) + 2 (0 + 1030) + 3(0 + 206) = 2050 + 2060 + 618 = 4728$

(9) の行列式

$\begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{12}) - \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{12} - \frac{1}{9}) + \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{16} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{12} - \frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{36}) + \frac{1}{4} \cdot (-\frac{5}{48}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{108} - \frac{5}{192} = \frac{1}{12} + \frac{1}{108} - \frac{5}{192} = \frac{1728 + 192 - 540}{20736} = \frac{1380}{20736} = \frac{115}{1728}$

3. 最終的な答え

(4) 0

(5) -180

(6) -40

(7) -180

(8) 4728

(9) 115/1728