与えられた6つの行列式の値を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの行列式の値を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の行列式を計算します。行列式は $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ で計算できます。

(2) 3x3行列の行列式を計算します。サラスの公式または余因子展開を利用します。よく見ると、第1列と第3列の差がそれぞれ3なので、行列式は0になります。

(3) 3x3行列の行列式を計算します。サラスの公式または余因子展開を利用します。

(4) 4x4行列の行列式を計算します。余因子展開を繰り返し適用して計算します。

(5) 4x4行列の行列式を計算します。第1行と第2行に0が3つあるので、余因子展開を利用して次数を下げます。

(6) 4x4行列の行列式を計算します。第3列に0が2つあるので、余因子展開を利用して次数を下げます。

では、各行列式を計算します。

(1) $\begin{vmatrix} 22 & 28 \\ 49 & 64 \end{vmatrix} = (22)(64) - (28)(49) = 1408 - 1372 = 36$

(2) $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix} = (1)(5)(9) + (4)(8)(3) + (7)(2)(6) - (7)(5)(3) - (1)(8)(6) - (4)(2)(9) = 45 + 96 + 84 - 105 - 48 - 72 = 225 - 225 = 0$

(3) $\begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 12 & 0 & 9 \\ -8 & 7 & 6 \end{vmatrix} = (4)(0)(6) + (1)(9)(-8) + (3)(12)(7) - (3)(0)(-8) - (4)(9)(7) - (1)(12)(6) = 0 - 72 + 252 - 0 - 252 - 72 = -144$

(4) $\begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 & 4 \\ 4 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix}$

第1行で余因子展開:

$= 0\cdot C_{11} + 1\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} + 3\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 4 & 0 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} + 4\cdot(-1)^{1+4}\begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix}$

$= -1\begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 4 & 0 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} - 4\begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 1 + 36 - 0 - 16 - 0 = 21$

$\begin{vmatrix} 4 & 0 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 0 + 27 - 12 - 0 - 0 = 15$

$\begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 64 + 0 + 9 - 4 - 0 - 0 = 69$

$= -21 + 3(15) - 4(69) = -21 + 45 - 276 = -252$

(5) $\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{vmatrix}$

第1行で余因子展開: $= 3(-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 0 & 5 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = -3(0+0+0 - (-60) - 0 - 0) = -3(60) = -180$

(6) $\begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & 2 & 0 \\ 7 & 0 & -4 & 0 \\ -3 & 5 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

第4列で余因子展開: $= 2(-1)^{4+4} \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 2 \\ 7 & 0 & -4 \end{vmatrix} = 2(0+28+0 - 0 -0 -8) = 2(20) = 40$

3. 最終的な答え

(1) 36

(2) 0

(3) -144

(4) -252

(5) -180

(6) 40