2次方程式 $x^2 - 3x - 1 = 0$ の解を $\alpha$, $\beta$ ($\alpha > \beta$) とするとき，以下の値を求める問題です。 - $\alpha$ と $\beta$ の値 - $m < \alpha < m+1$ を満たす整数 $m$ の値 - $n < \beta < n+1$ を満たす整数 $n$ の値 - $\alpha^2 - 1$ を $\alpha$ を用いて表した時の係数 - $\alpha + \frac{1}{\alpha}$ の値 - $\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ の値 - $\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}$ の値

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x - 1 = 0$ の解を $\alpha$, $\beta$ ($\alpha > \beta$) とするとき，以下の値を求める問題です。

- $\alpha$ と $\beta$ の値

- $m < \alpha < m+1$ を満たす整数 $m$ の値

- $n < \beta < n+1$ を満たす整数 $n$ の値

- $\alpha^2 - 1$ を $\alpha$ を用いて表した時の係数

- $\alpha + \frac{1}{\alpha}$ の値

- $\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ の値

- $\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}$ の値

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 3x - 1 = 0$ を解の公式で解きます。

解の公式より、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9+4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

$\alpha > \beta$ より、

$\alpha = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$、$\beta = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

次に、$m < \alpha < m+1$ を満たす整数 $m$ を求めます。

$\sqrt{9} < \sqrt{13} < \sqrt{16}$ より、$3 < \sqrt{13} < 4$。

$3+3 < 3 + \sqrt{13} < 3+4$

$6 < 3+\sqrt{13} < 7$

$\frac{6}{2} < \frac{3+\sqrt{13}}{2} < \frac{7}{2}$

$3 < \alpha < 3.5$

よって、$m=3$

次に、$n < \beta < n+1$ を満たす整数 $n$ を求めます。

$3 - 4 < 3 - \sqrt{13} < 3-3$

$-1 < 3 - \sqrt{13} < 0$

$-\frac{1}{2} < \frac{3 - \sqrt{13}}{2} < 0$

よって、$n = -1$

次に、$\alpha^2 - 1$ を求めます。

$\alpha$ は $x^2 - 3x - 1 = 0$ の解なので、$\alpha^2 - 3\alpha - 1 = 0$。

よって、$\alpha^2 - 1 = 3\alpha$

したがって、$\alpha - \frac{1}{\alpha} = \frac{\alpha^2 - 1}{\alpha} = \frac{3\alpha}{\alpha} = 3$

次に、$\alpha + \frac{1}{\alpha}$ を求めます。

$\alpha^2 - 3\alpha - 1 = 0$ を $\alpha$ で割ると、$\alpha - 3 - \frac{1}{\alpha} = 0$。

したがって、$\alpha - \frac{1}{\alpha} = 3$

$(\alpha + \frac{1}{\alpha})^2 = (\alpha - \frac{1}{\alpha})^2 + 4 = 3^2 + 4 = 9+4 = 13$

$\alpha + \frac{1}{\alpha} = \sqrt{13}$

次に、$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}$ を求めます。

$(\alpha + \frac{1}{\alpha})^2 = \alpha^2 + 2 + \frac{1}{\alpha^2}$ より、$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} = (\alpha + \frac{1}{\alpha})^2 - 2 = (\sqrt{13})^2 - 2 = 13 - 2 = 11$

次に、$\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}$ を求めます。

$(\alpha + \frac{1}{\alpha})^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2\frac{1}{\alpha} + 3\alpha\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\alpha^3} = \alpha^3 + 3(\alpha + \frac{1}{\alpha}) + \frac{1}{\alpha^3}$

$\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3} = (\alpha + \frac{1}{\alpha})^3 - 3(\alpha + \frac{1}{\alpha}) = (\sqrt{13})^3 - 3\sqrt{13} = 13\sqrt{13} - 3\sqrt{13} = 10\sqrt{13}$

3. 最終的な答え

- ア: 3, イウ: 13

- エ: 3

- オカ: -1

- キ: 3

- クケ: 13

- コサ: 11

- シス: 10, セソ: 13