与えられた9個の行列式の値を、行列式の性質や定義式を使って計算する。

はい、承知しました。与えられた行列式の計算問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた9個の行列式の値を、行列式の性質や定義式を使って計算する。

2. 解き方の手順

(1)

$$

\begin{vmatrix}

22 & 28 \\

49 & 64

\end{vmatrix} = 22 \times 64 - 28 \times 49 = 1408 - 1372 = 36

$$

(2)

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & 7 \\

2 & 5 & 8 \\

3 & 6 & 9

\end{vmatrix} = 1(5 \times 9 - 8 \times 6) - 4(2 \times 9 - 8 \times 3) + 7(2 \times 6 - 5 \times 3) = 1(45 - 48) - 4(18 - 24) + 7(12 - 15) = -3 - 4(-6) + 7(-3) = -3 + 24 - 21 = 0

$$

(3)

$$

\begin{vmatrix}

4 & 1 & 3 \\

12 & 0 & 9 \\

-8 & 7 & 6

\end{vmatrix} = 4(0 \times 6 - 9 \times 7) - 1(12 \times 6 - 9 \times (-8)) + 3(12 \times 7 - 0 \times (-8)) = 4(0 - 63) - 1(72 + 72) + 3(84 - 0) = -252 - 144 + 252 = -144

$$

(4)

$$

\begin{vmatrix}

0 & 1 & 3 & 4 \\

4 & 0 & 1 & 3 \\

3 & 4 & 0 & 1 \\

1 & 3 & 4 & 0

\end{vmatrix}

$$

まず、1行目を基準に展開する。

$$

= 0 \cdot C_{11} - 1 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13} - 4 \cdot C_{14}

$$

ここで、$C_{ij}$は余因子を表す。

$$

C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} = - (4(0-4) - 1(0-1) + 3(12-0)) = -(-16+1+36) = -21

$$

$$

C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & 0 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 4(0-3) - 0(0-1) + 3(9-4) = -12 + 15 = 3

$$

$$

C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = - (4(16-0) - 0(12-0) + 1(9-4)) = -(64+5) = -69

$$

したがって、

$$

= -1 \times (-21) + 3 \times 3 - 4 \times (-69) = 21 + 9 + 276 = 306

$$

(5)

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 3 \\

0 & 0 & -3 & 0 \\

0 & 5 & 3 & 2 \\

4 & 5 & 6 & 7

\end{vmatrix}

$$

1列目を基準に展開すると、4行目だけが残る。

$$

= 4 \times (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & -3 & 0 \\ 5 & 3 & 2 \end{vmatrix} = -4 \times (0 - 0 + 3(0 - (-15))) = -4 \times (3 \times 15) = -4 \times 45 = -180

$$

(6)

$$

\begin{vmatrix}

0 & 2 & 0 & 0 \\

-1 & 4 & 2 & 0 \\

7 & 0 & -4 & 0 \\

-3 & 5 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

4列目を基準に展開すると、4行目だけが残る。

$$

= 2 \times (-1)^{4+4} \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 2 \\ 7 & 0 & -4 \end{vmatrix} = 2 \times (0 - 2(4 \times (-1) - 7 \times 2) + 0) = 2 \times (-2(-4 - 14)) = 2 \times (-2 \times (-18)) = 2 \times 36 = 72

$$

(7)

$$

\begin{vmatrix}

4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

2 & -3 & 0 & 0 & 0 \\

1 & 0 & 0 & -2 & 3 \\

0 & 3 & 2 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 4 & 0 & 2

\end{vmatrix}

$$

1行目を基準に展開する

$$

= 4 \times C_{11} + 1 \times C_{14}

$$

$$

C_{11} = \begin{vmatrix} -3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} = -3 \times \begin{vmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} = -3 \times (0 -(-2)(4 - 12)+3(0 - 0)) = -3 \times 16 = -48

$$

$$

C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 2 & -3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 \end{vmatrix} = - 2 \begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \end{vmatrix} = - 2 * (0-0+3(12-0)) + 3(1 * (4-0)) = -72 + 12 = -60

$$

ゆえに $4*(-48)+1*(-60) = -192 - 60 = -252$

(8)

$$

\begin{vmatrix}

101 & 99 & 98 \\

101 & 100 & 102 \\

102 & 97 & 100

\end{vmatrix}

$$

1列目から2列目を引く、1列目から3列目を引く

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & 98 \\

1 & -2 & 102 \\

5 & -3 & 100

\end{vmatrix}

$$

1行目の2倍を2行目から引く、1行目の5倍を3行目から引く

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & 98 \\

-3 & -4 & -94 \\

-5 & -8 & -390

\end{vmatrix}

$$

1行目を基準に展開する

$2(4 * 390 - 8*94) - (-3*(-390) + 5 * (-94)) + 98(-3*(-8)-20)=-900$

(9)

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 \\

1/2 & 1/3 & 1/4 \\

1/3 & 1/4 & 1/2

\end{vmatrix}

$$

$$

= 1(1/6 - 1/16) - 1(1/4 - 1/12) + 1(1/8 - 1/9) = 1(8/48 - 3/48) - 1(3/12 - 1/12) + 1(9/72 - 8/72)

$$

$$

= 5/48 - 2/12 + 1/72 = 5/48 - 8/48 + 1/72 = -3/48 + 1/72 = -1/16 + 1/72 = (-9+2)/144 = -7/144

$$

3. 最終的な答え

(1) 36

(2) 0

(3) -144

(4) 306

(5) -180

(6) 72

(7) -252

(8) -900

(9) -7/144