与えられた6つの行列式の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた6つの行列式の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の行列式は、$ad-bc$で計算できる。

(2) 3x3行列の行列式は、サラスの公式または余因子展開で計算できる。

(3) 3x3行列の行列式は、サラスの公式または余因子展開で計算できる。

(4) 4x4行列の行列式は、余因子展開を繰り返して計算できる。

(5) 4x4行列の行列式は、余因子展開を繰り返して計算できる。

(6) 4x4行列の行列式は、余因子展開を繰り返して計算できる。

(1)

行列式は

$22 \times 64 - 28 \times 49 = 1408 - 1372 = 36$

(2)

行列式は

$1 \times 5 \times 9 + 4 \times 8 \times 3 + 7 \times 2 \times 6 - 7 \times 5 \times 3 - 1 \times 8 \times 6 - 4 \times 2 \times 9 = 45 + 96 + 84 - 105 - 48 - 72 = 0$

(3)

行列式は

$4 \times 0 \times 6 + 1 \times 9 \times (-8) + 3 \times 12 \times 7 - 3 \times 0 \times (-8) - 4 \times 9 \times 7 - 1 \times 12 \times 6 = 0 - 72 + 252 - 0 - 252 - 72 = -144$

(4)

1行目で余因子展開を行う。

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 & 4 \\ 4 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = -1\begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 4 & 0 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} - 4\begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix}$

$= -1(0+1+36-0-16-0) + 3(0+0+27-4-12-0) - 4(64+0+9-4-0-48) = -1(21) + 3(11) - 4(21) = -21 + 33 - 84 = -72$

(5)

1行目で余因子展開を行う。

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{vmatrix} = -3\begin{vmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 0 & 5 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = -3(0 + 0 + 0 - (-60) - 0 - 0) = -3(60) = -180$

(6)

1行目で余因子展開を行う。

$\begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & 4 & 2 & 0 \\ 7 & 0 & -4 & 0 \\ -3 & 5 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -2\begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 7 & -4 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} -1 & 4 & 2 \\ 7 & 0 & -4 \\ -3 & 5 & 1 \end{vmatrix}$

$= -2(-8+0+0-0+0-28) + (-0-48+70+0+20+28) = -2(-36) + (70) = 72 + 70 = 142$

3. 最終的な答え

(1) 36

(2) 0

(3) -144

(4) -72

(5) -180

(6) 142