与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ について、以下の2つの問題を解きます。 1. 行列 $A$ を対角化する。 2. $k$ を任意の自然数とするとき、$A^k$ を求める（各成分の値を $k$ の式で表す）。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ について、以下の2つの問題を解きます。

1. 行列 $A$ を対角化する。

2. $k$ を任意の自然数とするとき、$A^k$ を求める（各成分の値を $k$ の式で表す）。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の対角化

まず、$A$ の固有値を求めます。固有方程式は、

$\det(A - \lambda I) = 0$

$\det \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1$ と $\lambda_2 = 3$ です。

次に、それぞれの固有値に対する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 1$ のとき:

$(A - I)v_1 = 0$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + y = 0$ より、$y = -x$。したがって、固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ となります。

$\lambda_2 = 3$ のとき:

$(A - 3I)v_2 = 0$

$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + y = 0$ より、$y = x$。したがって、固有ベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。

固有ベクトルを並べて行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ を作ります。このとき、$P^{-1}AP = D$ は対角行列であり、$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ です。

行列 $P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求めます。

$P^{-1} = \frac{1}{\det P} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $A^k$ の計算

$A = PDP^{-1}$ であるから、$A^k = (PDP^{-1})^k = PD^kP^{-1}$ となります。

$D^k = \begin{pmatrix} 1^k & 0 \\ 0 & 3^k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3^k \end{pmatrix}$

したがって、

$A^k = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3^k \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 3^k \\ -1 & 3^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + 3^k & -1 + 3^k \\ -1 + 3^k & 1 + 3^k \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

行列 $A$ の対角化は $A = PDP^{-1}$ であり、ここで

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, $P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$A^k = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + 3^k & -1 + 3^k \\ -1 + 3^k & 1 + 3^k \end{pmatrix}$