問題は、放物線 $y = 2x^2$ と直線が、x座標が -1 である点Aと、x座標が正である点Bで交わっている。この直線の切片は6であるとき、次の問いに答える問題です。 (1) この直線の方程式を求めなさい。 (2) $△OAB$ の面積を求めなさい。（単位はつけなくてよい）

1. 問題の内容

問題は、放物線 $y = 2x^2$ と直線が、x座標が -1 である点Aと、x座標が正である点Bで交わっている。この直線の切片は6であるとき、次の問いに答える問題です。

(1) この直線の方程式を求めなさい。

(2) $△OAB$ の面積を求めなさい。（単位はつけなくてよい）

2. 解き方の手順

(1) 直線の方程式を求める。

- 直線の切片が6なので、直線の方程式は $y = ax + 6$ と表せる。

- 点Aは放物線 $y = 2x^2$ 上の点であり、x座標が-1なので、y座標は $y = 2(-1)^2 = 2$。

- したがって、点Aの座標は $(-1, 2)$ である。

- 点Aは直線 $y = ax + 6$ 上の点なので、座標を代入すると $2 = a(-1) + 6$。

- これを解くと、$-a = 2 - 6 = -4$ より $a = 4$。

- よって、直線の方程式は $y = 4x + 6$。

(2) $△OAB$ の面積を求める。

- 点Bは放物線 $y = 2x^2$ と直線 $y = 4x + 6$ の交点なので、$2x^2 = 4x + 6$ を解く。

- $2x^2 - 4x - 6 = 0$ を $2$ で割ると、$x^2 - 2x - 3 = 0$。

- 因数分解すると、$(x - 3)(x + 1) = 0$。

- よって、$x = 3, -1$。点Bのx座標は正なので、$x = 3$。

- 点Bのy座標は、$y = 2(3)^2 = 18$、または $y = 4(3) + 6 = 18$。したがって、点Bの座標は $(3, 18)$。

- $△OAB$ の面積は、線分OAを底辺、点Bから線分OAへの垂線の長さを高さと考えると計算が難しい。そこで、点A、Bからx軸へ垂線を下ろし、点Aからx軸へ下ろした垂線の足をC、点Bからx軸へ下ろした垂線の足をDとすると、$△OAB = △OBD - △OAC - 台形ACDB$ として計算できる。

- $△OBD = (1/2) * 3 * 18 = 27$

- $△OAC = (1/2) * 1 * 2 = 1$

- 台形ACDB = $(1/2) * (2 + 18) * (3 - (-1)) = (1/2) * 20 * 4 = 40$

- よって、$△OAB = 27 - 1 - (40 - 1 - 27) = 27 - 1 - 12 = 14$。

または、

点O(0,0)、点A(-1,2)、点B(3,18)に対して、

$△OAB = \frac{1}{2} |(x_A y_B - x_B y_A)| = \frac{1}{2} |(-1 * 18 - 3 * 2)| = \frac{1}{2} |-18 - 6| = \frac{1}{2} |-24| = 12$

3. 最終的な答え

(1) $y = 4x + 6$

(2) 12